Question

如圖，ABCD是正方形空地，邊長為30m，電源在點P處，點P到邊AD，AB距離分別為9m，3m．某廣告公司計劃在此空地上豎一塊長方形液晶廣告屏幕MNEF，MN：NE=16：9．線段MN必須過點P，端點M，N分別在邊AD，AB上，設(shè)AN=x（m），液晶廣告屏幕MNEF的面積為S（m²）．
（1）用x的代數(shù)式表示AM；
（2）求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及該函數(shù)的定義域；
（3）當x取何值時，液晶廣告屏幕MNEF的面積S最��？

Answer 1

【答案】分析：（1）在△AMN中利用比例關(guān)系即可表示AM；
（2）由（1），根據(jù)勾股定理用x表示MN，再由MN：NE=16：9，可以用x表示NE，即能表示面積S，結(jié)合x為邊長求定義域即可；
（3）根據(jù)（2），求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在給定區(qū)間上的最小值即可．
解答：解：（1）依題意，（10≤x≤30）；（2分）
（2）．（4分）
∵MN：NE=16：9，∴．
∴．（6分）
定義域為[10，30]．（8分）
（3）=，（11分）
令S′=0，得x=0（舍），．（13分）
當時，S′＜0，S關(guān)于x為減函數(shù)；
當時，S′＞0，S關(guān)于x為增函數(shù)；
∴當時，S取得最小值．（15分）
答：當AN長為m時，液晶廣告屏幕MNEF的面積S最小．（16分）
點評：本題考查用數(shù)學(xué)知識解決實際應(yīng)用題的能力，主要考查構(gòu)建函數(shù)模型，函數(shù)的定義域，以及用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值，是中檔題．