Question

【題目】設(shè)二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx.

(1)若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范圍；

(2)當(dāng)b＝1時(shí)，若對任意x∈[0,1]，－1≤f(x)≤1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）5≤f(－2)≤10；（2）[－2,0).

【解析】

(1)用和表示 ，再根據(jù)不等式的性質(zhì)求得.

(2)對進(jìn)行參變分離，根據(jù) 和求得.

解 (1)方法一　

∵f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)，且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤f(－2)≤10.

方法二　設(shè)f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)，

即4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)＝(m＋n)a－(m－n)b，比較兩邊系數(shù)：

∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)，

下同方法一．

(2)當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，－1≤f(x)≤1，即－1≤ax2＋x≤1，

即當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，ax2＋x＋1≥0且ax2＋x－1≤0恒成立；

當(dāng)x＝0時(shí)，顯然，ax2＋x＋1≥0且ax2＋x－1≤0均成立；

當(dāng)x∈(0,1]時(shí)，若ax2＋x＋1≥0恒成立，則a≥－－＝－(＋)2＋，

而－(＋)2＋在x∈(0,1]上的最大值為－2，∴a≥－2；

當(dāng)x∈(0,1]時(shí)，ax2＋x－1≤0恒成立，則a≤－＝(－)2－，

而(－)2－在x∈(0,1]上的最小值為0，∴a≤0，

∴－2≤a≤0，而a≠0，因此所求a的取值范圍為[－2,0)．