Question

2．已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+ln（x+1）（a，b∈R）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為5x+2y-2ln2-1=0．
（1）求實(shí)數(shù)a的值以及函數(shù)y=f（x）的極值；
（2）若函數(shù)y=f（x）（x∈[0，2]）的圖象與直線y=-$\frac{5}{2}$x+m恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）證明：ln（n+1）＜$\frac{2}{{1}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n+1}{{n}^{2}}$（n∈N^*）

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，由切線方程可得a，b的方程，解得a，b，再由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間，導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間，進(jìn)而得到極值；
（2）由題意可得m-$\frac{5}{2}$x=-x²-x+ln（x+1）在[0，2]上有兩解，則m=ln（x+1）-x²+$\frac{3}{2}$x，令g（x）=ln（x+1）-x²+$\frac{3}{2}$x，求得g（x）在[0，2]的值域，即可得到所求m的范圍；
（3）求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得x＞0的單調(diào)性，再令x=$\frac{1}{n}$，由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，即可得證．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=ax²+bx+ln（x+1）的導(dǎo)數(shù)為
f′（x）=2ax+b+$\frac{1}{x+1}$，
在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為2a+b+$\frac{1}{2}$=-$\frac{5}{2}$，
即為2a+b=-3，
又f（1）=a+b+ln2=ln2-2．即為a+b=-2．
解得a=b=-1，
則f（x）=-x²-x+ln（x+1），x＞-1．
f′（x）=-2x-1+$\frac{1}{x+1}$=$\frac{-x（2x+3）}{x+1}$，
當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減．
則f（x）在x=0處取得極大值，且為0；
沒有極小值；
（2）由題意可得，m-$\frac{5}{2}$x=-x²-x+ln（x+1）在[0，2]上有兩解，
則m=ln（x+1）-x²+$\frac{3}{2}$x，
令g（x）=ln（x+1）-x²+$\frac{3}{2}$x，則g′（x）=$\frac{1}{x+1}$-2x+$\frac{3}{2}$=$\frac{-（x-1）（4x+5）}{2（x+1）}$，
當(dāng)1＜x＜2時(shí)，g′（x）＜0，g（x）遞減；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＞0，g（x）遞增．
即有x=1處取得極大值，且為最大值ln2+$\frac{1}{2}$，
由g（0）=0，g（2）=ln3-1，
即有實(shí)數(shù)m的取值范圍為[ln3-1，ln2+$\frac{1}{2}$）；
（3）證明：f（x）=-x²-x+ln（x+1），x＞-1．
f′（x）=-2x-1+$\frac{1}{x+1}$=$\frac{-x（2x+1）}{x+1}$，
當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＜0，即f（x）在（0，+∞）遞減，
即有f（x）＜f（0）=0，
即為-x²-x+ln（x+1）＜0．
則ln（x+1）＜x²+x，
令x=$\frac{1}{n}$，則ln（1+$\frac{1}{n}$）＜$\frac{1}{{n}^{2}}$+$\frac{1}{n}$=$\frac{n+1}{{n}^{2}}$，
即有l(wèi)n$\frac{2}{1}$+ln$\frac{3}{2}$+…+ln$\frac{n+1}{n}$＜$\frac{2}{{1}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n+1}{{n}^{2}}$，
即為ln（$\frac{2}{1}$•$\frac{3}{2}$…$\frac{n+1}{n}$）＜$\frac{2}{{1}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n+1}{{n}^{2}}$，
即有l(wèi)n（n+1）＜$\frac{2}{{1}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n+1}{{n}^{2}}$（n∈N^*）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查函數(shù)和方程的轉(zhuǎn)化思想和不等式的證明，注意運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于中檔題．