Question

已知函數(shù)f（x）=cos+sin（x∈R），給出以下命題：①函數(shù)f（x）的最大值是2；②周期是；③函數(shù)f（x）的圖象上相鄰的兩條對(duì)稱軸之間的距離是； ④對(duì)任意x∈R，均有f（5π-x）=f（x）成立；⑤點(diǎn)（）是函數(shù)f（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心．其中正確命題的序號(hào)是    ．

Answer 1

【答案】分析：利用兩角和差的正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）=sin（），由此確定函數(shù)的對(duì)稱性、周期性、最值，從而得到答案．
解答：解：∵函數(shù)f（x）=cos+sin=sin（） （x∈R），故其最大值等于，周期等于 =5π，兩條相鄰的對(duì)稱軸之間的距離是，
故①②不正確，③正確．
令=kπ+，k∈z，可得 x=+，k∈z，故函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸為 x=+，k∈z，故函數(shù)不關(guān)于x=對(duì)稱，故④不正確．
當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)f（x）=sin（+）=sinπ=0，故點(diǎn)（）是函數(shù)f（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故⑤正確．
綜上，只有③⑤正確，
故答案為：③⑤．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的對(duì)稱性、周期性、最值，利用兩角和差的正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）=sin（），
是解題的突破口，屬于中檔題．