Question

14．已知函數(shù)f（x）=a²x²+ax-lnx．
（Ⅰ）當a＞0時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設g（x）=a²x²-f（x），且函數(shù)g（x）在點x=1處的切線為l，直線l′∥l，且l′在y軸上的截距為1．求證：無論a取任何實數(shù)，函數(shù)g（x）的圖象恒在直線l′的下方．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求導并化簡f′（x）=2a²x+a-$\frac{1}{x}$=$\frac{（2ax-1）（ax+1）}{x}$，從而由導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）化簡g（x）=a²x²-f（x）=lnx-ax，再求導g′（x）=$\frac{1}{x}$-a，從而根據(jù)題意寫出直線l′的方程y=（1-a）x+1；令F（x）=（1-a）x+1-g（x）=（1-a）x+1-（lnx-ax）=x+1-lnx，從而轉化為證明F（x）＞0在定義域上恒成立即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=2a²x+a-$\frac{1}{x}$=$\frac{（2ax-1）（ax+1）}{x}$，
故當a＞0時，
x∈（0，$\frac{1}{2a}$）時，f′（x）＜0，當x∈（$\frac{1}{2a}$，+∞）時，f′（x）＞0；
故函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，$\frac{1}{2a}$），單調(diào)增區(qū)間為（$\frac{1}{2a}$，+∞）；
（Ⅱ）證明：g（x）=a²x²-f（x）=lnx-ax，
g′（x）=$\frac{1}{x}$-a，
g′（1）=1-a；
∵函數(shù)g（x）在點x=1處的切線為l，直線l′∥l，
∴直線l′的斜率為g′（1）=1-a，
又∵l′在y軸上的截距為1，
∴直線l′的方程y=（1-a）x+1；
令F（x）=（1-a）x+1-g（x）
=（1-a）x+1-（lnx-ax）
=x+1-lnx，
F′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$；
故F（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在[1，+∞）上是增函數(shù)，
故F（x）≥F（1）=1+1-0=2；
故（1-a）x+1＞g（x）恒成立，
即無論a取任何實數(shù)，函數(shù)g（x）的圖象恒在直線l′的下方．

點評 本題考查了導數(shù)的綜合應用及恒成立問題轉化為最值問題的應用，屬于中檔題．