Question

19．一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖及該正方體的直觀圖如圖所示，在正方體中，設(shè)AB終點(diǎn)為M，CF中點(diǎn)為N．

（1）請(qǐng)將字母F、G、H標(biāo)記在正方體相應(yīng)的頂點(diǎn)處（不需說(shuō)明理由）；
（2）證明：直線MN∥面AEF；
（3）若正方體棱長(zhǎng)為2，求三棱錐M-AEF的體積．

Answer 1

分析 （1）將正方體的平面展開(kāi)圖還胡成該正方體的直觀圖，能將字母F、G、H標(biāo)記在正方體相應(yīng)的頂點(diǎn)處．
（2）設(shè)P為BE中點(diǎn)，推導(dǎo)出面MNP∥面AEF，由此能證明MN∥面AEF．
（3）三棱錐M-AEF的體積V_M-AEF=V_F-AEM，由此能求出結(jié)果．

解答 解：（1）將正方體的平面展開(kāi)圖還胡成該正方體的直觀圖，
將字母F、G、H標(biāo)記在正方體相應(yīng)的頂點(diǎn)處，如右圖：
證明：（2）設(shè)P為BE中點(diǎn)，連MP、NP，
∵N為CF中點(diǎn)，
∴NP∥EF，NP?面AEF，EF?面AEF，
∴NP∥面AEF，
又∵M(jìn)為AB中點(diǎn)，∴MP$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AE，
∵M(jìn)P?面AEF，AE?面MNP，
∴MP∥面AEF，
而MP∩NP=P，MP、NP?面MNP，
∴面MNP∥面AEF，
∵M(jìn)N?面MNP，
∴MN∥面AEF．
解：（3）∵正方體棱長(zhǎng)為2，
∴三棱錐M-AEF的體積：
V_M-AEF=V_F-AEM=$\frac{1}{3}×{S}_{△AEM}×EF$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×2×2=\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正方形結(jié)構(gòu)特征的應(yīng)用，考查線面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．