Question

7．已知函數(shù)$f（x）=-\frac{1}{3}{x^3}+2a{x^2}-3{a^2}x$（a∈R且a≠0）．
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，求曲線y=f（x）在（-2，f（-2））處的切線方程；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（3）當(dāng)x∈[2a，2a+2]時(shí)，不等式|f'（x）|≤3a恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f（-2），f′（-2）的值，求出切線方程即可；
（2）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；
（3）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出f′（x）的最小值和最大值，得到關(guān)于a的不等式組，解出即可．

解答 解：（1）∵當(dāng)a=-1時(shí)，$f（x）=-\frac{1}{3}{x^3}-2{x^2}-3x$，f'（x）=-x²-4x-3，
∴$f（-2）=\frac{8}{3}-8+6=\frac{2}{3}$，f'（-2）=-4+8-3=1．
∴$y=[{x-（-2）}]+\frac{2}{3}$，即所求切線方程為3x-3y+8=0．
（2）∵f'（x）=-x²+4ax-3a²=-（x-a）（x-3a）．
當(dāng)a＞0時(shí)，由f'（x）＞0，得a＜x＜3a；由f'（x）＜0，得x＜a或x＞3a．
∴函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（a，3a），單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，a）和（3a，+∞），
∵f（3a）=0，$f（a）=-\frac{4}{3}{a^3}$，
∴當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)y=f（x）的極大值為0，極小值為$-\frac{4}{3}{a^3}$．
（3）f'（x）=-x²+4ax-3a²=-（x-2a）²+a²，
∵f'（x）在區(qū)間[2a，2a+2]上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=2a時(shí)，$f'{（x）_{max}}={a^2}$，當(dāng)x=2a+2時(shí)，$f'{（x）_{min}}={a^2}-4$．
∵不等式|f'（x）|≤3a恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}a≥0\\{a^2}≤3a\\{a^2}-4≥-3a\end{array}\right.$解得1≤a≤3，
故a的取值范圍是[1，3]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．