Question

已知在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=30°，P為∠ABC的平分線上，∠PCA=20°，BP交AC于點(diǎn)M，CP交AB于點(diǎn)N．求證：PM=NA．

Answer 1

考點(diǎn)：解三角形的實(shí)際應(yīng)用

專題：解三角形

分析：在BA延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)D，使BD=BC，連接DP，DC．由于BP平分∠ABC，由對(duì)稱性可得PD=PC．∠DPC=60°，△PDC是正三角形．在△ACD中，根據(jù)∠ADC=70°=∠CAD，可得AC=DC．在△PCA中，由∠PCA=20°，可知∠PAC=80°．從而∠PAB=30°．在△AMP中，由正弦定理可得：

PM

sin80°

=

PA

sin50°

．在△ANP中，由正弦定理可得：

AN

sin100°

=

PA

sin50°

．即可得出．

解答： 證明：在BA延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)D，使BD=BC，連接DP，DC．
∵BP平分∠ABC，
可知C點(diǎn)與點(diǎn)D關(guān)于BP對(duì)稱，
∴PD=PC．
∵∠DPC=2（∠PBC+∠PCB）=60°，
∴△PDC是正三角形，PC=DC．
在△ACD中，∵∠ADC=70°=∠CAD，
∴AC=DC，
∴AC=PC．
在△PCA中，∵∠PCA=20°，
∴∠PAC=80°．
∴∠PAB=∠BAC-∠PCA=110°-80°=30°．
在△AMP中，由正弦定理可得：

PM

sin80°

=

PA

sin50°

．
在△ANP中，由正弦定理可得：

AN

sin100°

=

PA

sin50°

．
∴PM=AN．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了角平分線的對(duì)稱性、等邊三角形的性質(zhì)、正弦定理的應(yīng)用、三角形的外角性質(zhì)定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．