Question

4．已知定義在區(qū)間（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）=f（x₁）-f（x₂），且當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）＞0．
（1）求f（1）的值；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性；
（3）若f（3）=-1，解不等式f（|x|）＜-2．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)抽象函數(shù)“湊”的原則，分別令x₁=x₂=1，即可求出f（1）的值；
（2）由單調(diào)性定義，0＜x₁＜x₂，化簡(jiǎn)得到f（x₁）＞f（x₂），即得到函數(shù)為減函數(shù)；
（3）令x₁=9，x₂=3，求得f（9）=-2，再根據(jù)函數(shù)的定義域和單調(diào)性即可求出不等式的解．

解答 解：（1）∵f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）=f（x₁）-f（x₂），
∴令x₁=x₂，則f（1）=0；
（2）定義在區(qū)間（0，+∞）上的函數(shù)f（x）為減函數(shù)，
理由如下：設(shè)0＜x₁＜x₂，
則0＜$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＜1，
∵0＜x＜1時(shí)，f（x）＞0，
∴f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上為減函數(shù)．
（3）令x₁=9，x₂=3，
則f（3）=f（9）-f（3），
∴f（9）=2f（3）=-2，
∵f（|x|）＜-2．
∴f（|x|）＜f（9），
∴|x|＞9，
∵x∈（0，+∞），
∴x＞9，
∴不等式f（|x|）＜-2的解集為（9，+∞）

點(diǎn)評(píng) 本題考查抽象函數(shù)及應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，注意運(yùn)用定義，同時(shí)考查解決抽象函數(shù)的常用方法：賦值法，屬于中檔題．