Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x2-alnx（a∈R）．
（1）若f（x）在x=2時(shí)取得極值，求a的值；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x），根據(jù)x=2是f′（x）一個(gè)極值點(diǎn)，利用f′（2）=0，可得a=4，再檢驗(yàn)當(dāng)a=4時(shí)，x=2是f（x）的極小值點(diǎn)符合題意；
（2）討論導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，可得當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(

a

，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為(0，

a

)．

解答：解：（1f′(x)=x-

a

x

，∵x=2是一個(gè)極值點(diǎn)，
∴2-

a

2

=0，∴a=4．
此時(shí)f′(x)=x-

4

x

=

x2-4

x

=

(x-2)(x+2)

x

．
∵f（x）的定義域是{x|x＞0}，
∴當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x＞2時(shí)，f′（x）＞0．
∴當(dāng)a=4時(shí)，x=2是f（x）的極小值點(diǎn)，∴a=4．（6分）
（2）∵f′(x)=x-

a

x

，∴當(dāng)a≤0時(shí)，
f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）．
當(dāng)a＞0時(shí)，f′(x)=x-

a

x

=

x2-a

x

=

(x- a )(x+ a )

x

，
令f′（x）＞0有x＞

a

，∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(

a

，+∞）；
令f′（x）＜0有0＜x＜

a

，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，

a

)．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，屬于中檔題．做題時(shí)注意分類討論思想的運(yùn)用，以及取極值時(shí)的檢驗(yàn)．