Question

9．已知函數(shù)g（x）=λx+sinx定義在區(qū)間[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上．
（1）若函數(shù)g（x）是增函數(shù)，求λ的最小值；
（2）當(dāng)λ=-$\frac{1}{2}$時，求函數(shù)g（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上的極大值；
（3）當(dāng)λ≥0時，求證：不存在實(shí)數(shù)t，使得g（x）＞t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立．

Answer 1

分析 （1）g（x）是在[-π/2，π/2]上的增函數(shù)，可得g'（x）=λ+cosx≥0在[-π/2，π/2]上恒成立，進(jìn)而求出λ≥0；
（2）代入得g（x）=-$\frac{1}{2}$x+sinx，求導(dǎo)，通過導(dǎo)函數(shù)正負(fù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)的極值；
（3）恒成立問題轉(zhuǎn)換為最值問題．即g（x）的最小值要大于t²+λt+1的最大值才能成立，利用二次函數(shù)和（1）的知識進(jìn)行證明．

解答 解：∵g（x）是在[-π/2，π/2]上的增函數(shù)，
∴g'（x）=λ+cosx≥0在[-π/2，π/2]上恒成立，
∴λ≥-cosx，
又∵-cosx在[-π/2，π/2]上的最大值為0，
∴λ≥0
故λ的最小值為0；
（2）當(dāng)λ=-$\frac{1}{2}$時，
g（x）=-$\frac{1}{2}$x+sinx
g'（x）=-$\frac{1}{2}$+cosx
當(dāng)x∈（-$\frac{π}{2}$，$-\frac{π}{3}$）和（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$）時，g'（x）＜0，g（x）遞減
當(dāng)x∈（$-\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$）時，g'（x）＞0，g（x）遞增
∴在區(qū)間[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上的極大值為g（$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{π}{6}$
（3）當(dāng)λ≥0時，由（1）知函數(shù)g（x）是增函數(shù)
∴g（x）的最小值為g（-1）=-λ-sin1＜0
t²+λt+1=（t+$\frac{λ}{2}$）²-$\frac{{λ}^{2}}{4}$+1≥-$\frac{{λ}^{2}}{4}$+1
-λ-sin1不恒大于-$\frac{{λ}^{2}}{4}$+1
∴不存在實(shí)數(shù)t，使得g（x）＞t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立．

點(diǎn)評 考察了利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)的極值；恒成立問題的轉(zhuǎn)換以及二次函數(shù)的性質(zhì)．