Question

【題目】在中，，且.以所在直線為軸，中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系.

（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;

（Ⅱ）已知定點(diǎn)，不垂直于的動(dòng)直線與軌跡相交于兩點(diǎn)，若直線 關(guān)于直線對(duì)稱，求面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（I）利用正弦定理化簡(jiǎn)已知條件，根據(jù)橢圓的定義求得軌跡方程.（II）設(shè)出直線方程為，代入的軌跡方程，寫(xiě)出判別式和韋達(dá)定理，根據(jù)直線關(guān)于軸對(duì)稱，列方程，化簡(jiǎn)后求得直線過(guò)，求得的表達(dá)式，并利用單調(diào)性求得面積的取值范圍.

解： (Ⅰ)由得：,

由正弦定理

所以點(diǎn)C的軌跡是：以為焦點(diǎn)的橢圓(除軸上的點(diǎn)),其中，則，

故軌跡的軌跡方程為.

(Ⅱ) 由題，由題可知，直線的斜率存在，設(shè)的方程為，將直線的方程代入軌跡的方程得:.

由得，，且

∵直線關(guān)于軸對(duì)稱,∴，即.

化簡(jiǎn)得：,

,得

那么直線過(guò)點(diǎn),,所以面積：

設(shè),,顯然，S在上單調(diào)遞減，

.