Question

12．如圖所示：已知直角梯形ABCO中，∠ABC=∠BCO=90°，AB=1，BC=$\sqrt{3}$，OA=OC=2，設(shè)$\overrightarrow{OM}$=m$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{ON}$=n$\overrightarrow{OC}$（其中0＜m，n＜1）G為線段MN的中點(diǎn)．
（1）當(dāng)m=$\frac{1}{2}$時，若O，G，B三點(diǎn)共線，求n的值；
（2）若△OMN的面積為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求|$\overrightarrow{OG}$|的最小值．

Answer 1

分析 （1）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，求得A，B，C，M，N，G的坐標(biāo)，再由向量共線的坐標(biāo)表示，計算可得n的值；
（2）求得M，N，G的坐標(biāo)，由三角形的面積公式，計算可得mn=$\frac{1}{2}$，計算OG的模，由配方，即可得到最小值．

解答 解：（1）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC所在直線為x軸，
建立直角坐標(biāo)系，可得O（0，0），A（1，$\sqrt{3}$），B（2，$\sqrt{3}$），
C（2，0），M（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），N（2n，0），G（n+$\frac{1}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$），
由O，G，B三點(diǎn)共線，可得$\overrightarrow{OG}$∥$\overrightarrow{OB}$，
即有$\frac{\sqrt{3}}{4}$×2=$\sqrt{3}$（n+$\frac{1}{4}$），
解得n=$\frac{1}{4}$；
（2）由$\overrightarrow{OM}$=m$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{ON}$=n$\overrightarrow{OC}$，可得M（m，$\sqrt{3}$m），N（2n，0），
可得G（n+$\frac{1}{2}$m，$\frac{\sqrt{3}}{2}$m），
由△OMN的面積為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得$\frac{1}{2}$×2n×$\sqrt{3}$m=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即有mn=$\frac{1}{2}$，
則|$\overrightarrow{OG}$|=$\sqrt{（n+\frac{1}{2}m）^{2}+\frac{3}{4}{m}^{2}}$=$\sqrt{{n}^{2}+{m}^{2}+mn}$
=$\sqrt{（m-n）^{2}+3mn}$=$\sqrt{（m-n）^{2}+\frac{3}{2}}$，
當(dāng)m=n=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，|$\overrightarrow{OG}$|取得最小值，且為$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查向量共線的坐標(biāo)表示，向量的模的最值，考查三角形的面積公式的運(yùn)用，屬于中檔題．