Question

6．在平面直角坐標(biāo)系中，圓M的方程為x²+（y-4）²=4，若直線x+my+2=0上至少存在一點(diǎn)P，使得以該點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓與圓M有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是m≤$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 找出圓心的坐標(biāo)與半徑r，由題意可得以M為圓心，4為半徑的圓與直線x+my+2=0有公共點(diǎn)，即圓心到直線x+my+2=0的距離小于等于4，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于m的不等式求出不等式的解集，即可得到m的范圍．

解答 解：圓M的方程為x²+（y-4）²=4，∴圓心M（0，4），半徑r=2，
∵直線x+my+2=0上至少存在一點(diǎn)P，使得以該點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓與圓M有公共點(diǎn)，
∴只需圓x²+（y-4）²=4與x+my+2=0有公共點(diǎn)，
∵圓心（0，4）到直線x+my+2=0的距離d=$\frac{|4m+2|}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$≤4，求得m≤$\frac{3}{4}$，
故答案為：m≤$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點(diǎn)到直線的距離公式，其中當(dāng)d＜r時(shí)，直線與圓相交；當(dāng)d＞r時(shí)，直線與圓相離；當(dāng)d=r時(shí)，直線與圓相切（d為圓心到直線的距離，r為圓的半徑）．