Question

如圖為函數(shù)f（x）=（0＜x＜1）的圖象，其在點(diǎn)M（t，f（t））處的切線為l，l與y軸和直線y=1分別交于點(diǎn)P、Q，點(diǎn)N（0，1），若△PQN的面積為b時(shí)的點(diǎn)M恰好有兩個(gè)，則b的取值范圍為    ．

Answer 1

【答案】分析：對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得，，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義先寫出過點(diǎn)M的切線方程為y-=，進(jìn)而可得面積S
=，令g（t）=（0＜t＜1），要使△PQN的面積為b時(shí)的點(diǎn)M恰好有兩個(gè)即g（t）在（0，1）上與y=b有兩個(gè)交點(diǎn)，通過=研究函數(shù)函數(shù)g（t）在（0，1）上的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的圖象進(jìn)行求解
解答：解：對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得，
由題意可得M（t，），切線的斜率k=
過點(diǎn)M的切線方程為y-=
則可得
l=l
令g（t）=（0＜t＜1）
=
函數(shù)g（t）在（）單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減
由于，
△PQN的面積為b時(shí)的點(diǎn)M恰好有兩個(gè)即g（t）在（0，1）上與y=b有兩個(gè)交點(diǎn)
，根據(jù)函數(shù)的圖象可知

故答案為：
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用：求切線方程；利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的最值，解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)g（t），通過研究該函數(shù)的性質(zhì)，給出相應(yīng)的函數(shù)的圖象，從而進(jìn)行求解