Question

已知函數(shù)y=x+

a

x

有如下性質(zhì)：如果常數(shù)a＞0，那么該函數(shù)在（0，

a

]上是減函數(shù)，在[

a

，+∞）上是增函數(shù)．
（1）如果函數(shù)y=x+

2b

x

（x＞0）的值域為[6，+∞），求b的值；
（2）研究函數(shù)y=x²+

c

x2

（常數(shù)c＞0）在定義域內(nèi)的單調(diào)性，并說明理由；
（3）對函數(shù)y=x+

a

x

和y=x²+

a

x2

（常數(shù)a＞0）作出推廣，使它們都是你所推廣的函數(shù)的特例．研究推廣后的函數(shù)的單調(diào)性（只須寫出結論，不必證明）．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)y=x+

a

x

性質(zhì)可得y=x+

2b

x

的最小值，令其為6，解出可得b值；
（2）利用定義進行判斷：先研究函數(shù)在（0，+∞）上的單調(diào)性，設0＜x₁＜x₂，通過作差判斷y₂與y₁的大小，由單調(diào)性的定義即可作出判斷，再由偶函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在（-∞，0）的單調(diào)性；
（3）可以把函數(shù)推廣為y=xn+

a

xn

（常數(shù)a＞0），其中n是正整數(shù)，當n是奇數(shù)時類比y=x+

a

x

的情形，當n是偶數(shù)時類比y=x2+

c

x2

的情形，即可得到結論；

解答：解：（1）由函數(shù)y=x+

a

x

性質(zhì)知：
當x=

2b

時，函數(shù)y=x+

2b

x

（x＞0）的最小值是2

2b

，則2

2b

=6，
解得b=log₂9．
（2）設0＜x₁＜x₂，
則y₂-y₁=

x

2 2

+

c

x 2 2

-

x

2 1

-

c

x 2 1

=(

x

2 2

-

x

2 1

)(1-

c

x 2 1 • x 2 2

)=

(x2-x1)(x2+x1)(x12x22-c)

x12x22

．
當

4	c

＜x₁＜x₂時，y₂＞y₁，函數(shù)y=x2+

c

x2

在[

4	c

，+∞）上是增函數(shù)；
當0＜x₁＜x₂＜

4	c

時，y₂＜y₁，函數(shù)y=x2+

c

x2

在（0，

4	c

]上是減函數(shù)．
又y=x2+

c

x2

是偶函數(shù)，
所以該函數(shù)在（-∞，-

4	c

]上是減函數(shù)，在[-

4	c

，0）上是增函數(shù)；
（3）可以把函數(shù)推廣為y=xn+

a

xn

（常數(shù)a＞0），其中n是正整數(shù)．
當n是奇數(shù)時，函數(shù)y=xn+

a

xn

在（0，

2n	a

]上是減函數(shù)，在[

2n	a

，+∞）上是增函數(shù)，
在（-∞，-

2n	a

]上是增函數(shù)，在[-

2n	a

，0）上是減函數(shù)；
當n是偶數(shù)時，函數(shù)y=xn+

a

xn

在（0，

2n	a

]上是減函數(shù)，在[

2n	a

，+∞） 上是增函數(shù)，
在（-∞，-

2n	a

]上是減函數(shù)，在[-

2n	a

，0）上是增函數(shù)．

點評：本題考查函數(shù)單調(diào)性的判斷、證明及歸納推理，定義是判斷函數(shù)單調(diào)性的基本方法，要熟練掌握．