Question

11．如圖，已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），以該橢圓上的異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的點(diǎn)和橢圓的左，右焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂為頂點(diǎn)的三角形的周長(zhǎng)為8$\sqrt{2}$，以橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)組成的菱形的面積為8$\sqrt{2}$，雙曲線G：x²-y²=m（m＞0）的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)P為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線PF₁和PF₂與橢圓的交點(diǎn)分別為A，B和C，D．
（1）求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線PF₁，PF₂的斜率分別為k₁，k₂，探求k₁與k₂的關(guān)系；
（3）是否存在常數(shù)λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB||CD|恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意知，橢圓中：4a=8$\sqrt{2}$，$\frac{1}{2}×2a×2b$=8$\sqrt{2}$，解出即可得橢圓的方程；又頂點(diǎn)與焦點(diǎn)重合，可得m=c²=a²-b²．可得該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）設(shè)點(diǎn)P（x，y）（x≠±2），利用斜率計(jì)算公式可得：${k}_{1}=\frac{y}{x+2}$，k₂=$\frac{y}{x-2}$，k₁•k₂=$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-4}$．由P在雙曲線上，可得x²-y²=4，代入即可得出．
（3）設(shè)直線AB：y=k₁（x+2）（k₁≠0），與橢圓方程聯(lián)立化為$（2{k}_{1}^{2}+1）{x}^{2}$+$8{k}_{1}^{2}x$+$8{k}_{1}^{2}$-8=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．利用弦長(zhǎng)公式|AB|=$\sqrt{（1+{k}_{1}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\frac{4\sqrt{2}（1+{k}_{1}^{2}）}{2{k}_{1}^{2}+1}$，同理|CD|=$\frac{4\sqrt{2}（1+{k}_{2}^{2}）}{2{k}_{2}^{2}+1}$，由k₁•k₂=1，代入|AB|+|CD|=λ|AB||CD|，可得λ為常數(shù)．

解答 解：（1）由題意知，橢圓中：4a=8$\sqrt{2}$，$\frac{1}{2}×2a×2b$=8$\sqrt{2}$，
解得a=2$\sqrt{2}$，b=2．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
又頂點(diǎn)與焦點(diǎn)重合，∴m=c²=a²-b²=4．
∴該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（2）設(shè)點(diǎn)P（x，y）（x≠±2），${k}_{1}=\frac{y}{x+2}$，k₂=$\frac{y}{x-2}$，k₁•k₂=$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-4}$．
∵P在雙曲線上，∴x²-y²=4，∴y²=x²-4．
∴k₁•k₂=1．
（3）設(shè)直線AB：y=k₁（x+2）（k₁≠0），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，化為$（2{k}_{1}^{2}+1）{x}^{2}$+$8{k}_{1}^{2}x$+$8{k}_{1}^{2}$-8=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∴x₁+x₂=$\frac{-8{k}_{1}^{2}}{2{k}_{1}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{8{k}_{1}^{2}-8}{2{k}_{1}^{2}+1}$，
由弦長(zhǎng)公式|AB|=$\sqrt{（1+{k}_{1}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\frac{4\sqrt{2}（1+{k}_{1}^{2}）}{2{k}_{1}^{2}+1}$，
同理|CD|=$\frac{4\sqrt{2}（1+{k}_{2}^{2}）}{2{k}_{2}^{2}+1}$，
由k₁•k₂=1，可得${k}_{2}=\frac{1}{{k}_{1}}$，代入上式可得：|CD|=$\frac{4\sqrt{2}（1+{k}_{1}^{2}）}{{k}_{1}^{2}+2}$，
由|AB|+|CD|=λ|AB||CD|，可得λ=$\frac{1}{|AB|}+\frac{1}{|CD|}$=$\frac{3\sqrt{2}}{8}$，
∴存在常數(shù)λ=$\frac{3\sqrt{2}}{8}$，使得|AB|+|CD|=λ|AB||CD|恒成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓與雙曲線的坐標(biāo)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓雙曲線相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、斜率計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．