Question

14．如圖，在三棱錐V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB為等邊三角形，AC⊥BC且AC=BC=$\sqrt{2}$，O、M分別為AB、VA的中點．
（1）求證：平面MOC⊥平面VAB
（2）求點O到面VAC的距離．

Answer 1

分析 （1）證明：OC⊥平面VAB，即可證明平面MOC⊥平面VAB
（2）利用等體積法求點O到面VAC的距離．

解答 （1）證明：∵AC=BC，O為AB的中點，
∴OC⊥AB，
∵平面VAB⊥平面ABC，OC?平面ABC，
∴OC⊥平面VAB，
∵OC?平面MOC，
∴平面MOC⊥平面VAB；
（2）解：在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=$\sqrt{2}$，∴AB=2，OC=1，
∴S_△OAM=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∵OC⊥平面VAB，
∴V_C-OAM=$\frac{1}{3}$OC•S_△VAB=$\frac{\sqrt{3}}{12}$，
△AMC中，AM=1，AC=$\sqrt{2}$，MC=$\sqrt{2}$，∴S_△AMC=$\frac{1}{2}•1•\frac{\sqrt{7}}{2}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$
設(shè)點O到面VAC的距離為h，則
∵V_O-AMC=V_C-OAM，
∴$\frac{1}{3}•\frac{\sqrt{7}}{4}h$=$\frac{\sqrt{3}}{12}$，
∴h=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，即點O到面VAC的距離為$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

點評 本題考查平面與平面垂直的判定，考查體積的計算，正確運用平面與平面垂直的判定定理是關(guān)鍵．