Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=

1

4

，（1-a_n）a_n+1=

1

4

．
（1）求證：數(shù)列{

1

an- 1 2

}為等差數(shù)列；
（2）求證：

a2

a1

+

a3

a2

+…+

an+1

an

＜n+

3

4

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用得出數(shù)列的定義證明即可，令b_n=

1

an- 1 2

∴a_n=

1

bn

+

1

2

，則代入（1-a_n）a_n+1=

1

4

，化簡(jiǎn)可得b_n+1-b_n=-2，即可得證；
（2）由（1）可求得

an+1

an

=

n+1

2(n+2)

•

2(n+1)

n

=

(n+1)2

n(n+2)

=1+

1

n(n+2)

=1+

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），利用裂項(xiàng)求和即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）令b_n=

1

an- 1 2

∴a_n=

1

bn

+

1

2

，
∵（1-a_n）a_n+1=

1

4

．
∴[1-（

1

bn

+

1

2

）]（

1

bn+1

+

1

2

）=

1

4

，
∴b_n+1-b_n=-2，又b₁=

1

1 4 - 1 2

=-4，
∴數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)是-4，公差為-2的等差數(shù)列，即數(shù)列{

1

an- 1 2

}為等差數(shù)列；
（2）由（1）知b_n=-4-2（n-1）=-2n-2，
∴a_n=

1

bn

+

1

2

=-

1

2(n+1)

+

1

2

=

n

2(n+1)

，
∴

an+1

an

=

n+1

2(n+2)

•

2(n+1)

n

=

(n+1)2

n(n+2)

=1+

1

n(n+2)

=1+

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），
∴

a2

a1

+

a3

a2

+…+

an+1

an

=n+

1

2

（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+2

）=n+

1

2

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）＜n+

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列的證明及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和等知識(shí)，注意式子的合理變形，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬于中檔題．