【題目】在四棱錐中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為6的菱形，且，平面ABCD，，F是棱PA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E為PD的中點(diǎn)．

Ⅰ求證：．

Ⅱ若．

求PC與平面BDF所成角的正弦值；

側(cè)面PAD內(nèi)是否存在過(guò)點(diǎn)E的一條直線，使得該直線上任一點(diǎn)M與C的連線，都滿足平面BDF，若存在，求出此直線被直線PA、PD所截線段的長(zhǎng)度，若不存在，請(qǐng)明理由．

【答案】（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）．

【解析】

證明平面PAC即可得出；建立空間坐標(biāo)系，求出平面BDF的法向量，計(jì)算和的夾角的余弦值即可；取PF的中點(diǎn)G，證明平面，即可得出結(jié)論．

證明：平面ABCD，平面ABCD，

，

四邊形ABCD是菱形，

，

又，平面PAC，平面PAC，

平面PAC，

又平面PAC，

．

解：設(shè)AC，BD交于點(diǎn)O，以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以OB，OC，平面ABCD過(guò)點(diǎn)O的垂線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則0，，0，，，3，，，

，0，，，

設(shè)平面BDF的法向量為y，，則，即，

令可得，即2，，

，．

與平面BDF所成角的正弦值為，．

取PF的中點(diǎn)G，連接FG，CG，

，G分別是PD，PF的中點(diǎn)，

，又平面BDF，平面BDF，

平面BDF，

，O分別是AG，AC的中點(diǎn)，

，又平面BDF，平面BDF，

平面BDF，

又平面CEG，平面CEG，，

平面平面BDF，

側(cè)面PAD內(nèi)存在過(guò)點(diǎn)E的一條直線EG，使得該直線上任一點(diǎn)M與C的連線，

都滿足平而BDF，

此直線被直線PA、PD所截線段為．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】（2017高考新課標(biāo)Ⅲ，理19）如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．

（1）證明：平面ACD⊥平面ABC；

（2）過(guò)AC的平面交BD于點(diǎn)E，若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角D–AE–C的余弦值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，下頂點(diǎn)為，橢圓的離心率是，的面積是.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（異于點(diǎn)），若直線與直線的斜率之和為1，證明：直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知，實(shí)數(shù)，函數(shù)，函數(shù).

（Ⅰ）令，當(dāng)時(shí)，試討論函數(shù)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，令，是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)于函數(shù)定義域中的任意實(shí)數(shù)，均存在實(shí)數(shù)，有成立？若存在，求出實(shí)數(shù)的取值集合；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在某區(qū)“創(chuàng)文明城區(qū)”簡(jiǎn)稱“創(chuàng)城”活動(dòng)中，教委對(duì)本區(qū)A，B，C，D四所高中校按各校人數(shù)分層抽樣調(diào)查，將調(diào)查情況進(jìn)行整理后制成如表：

學(xué)校

A

B

C

D

抽查人數(shù)

50

15

10

25

“創(chuàng)城”活動(dòng)中參與的人數(shù)

40

10

9

15

注：參與率是指：一所學(xué)�！皠�(chuàng)城”活動(dòng)中參與的人數(shù)與被抽查人數(shù)的比值

假設(shè)每名高中學(xué)生是否參與“創(chuàng)城”活動(dòng)是相互獨(dú)立的．

Ⅰ若該區(qū)共2000名高中學(xué)生，估計(jì)A學(xué)校參與“創(chuàng)城”活動(dòng)的人數(shù)；

Ⅱ在隨機(jī)抽查的100名高中學(xué)生中，從A，C兩學(xué)校抽出的高中學(xué)生中各隨機(jī)抽取1名學(xué)生，求恰有1人參與“創(chuàng)城”活動(dòng)的概率；

Ⅲ若將表中的參與率視為概率，從A學(xué)校高中學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，求這3人參與“創(chuàng)城”活動(dòng)人數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，∠DAB＝60°，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝2，E，F，G分別是AB，PB，CD的中點(diǎn)．

（1）求證：AC⊥PB；

（2）求證：GF∥平面PAD；

（3）求點(diǎn)G到平面PAB的距離．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓.在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)滿足.設(shè)點(diǎn)的軌跡為，下列結(jié)論正確的是（ ）

A.的方程為

B.在上存在點(diǎn)，使得

C.當(dāng)，，三點(diǎn)不共線時(shí)，射線是的平分線

D.在三棱錐中，面，且，，，該三棱錐體積最大值為12

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（I）討論的單調(diào)性；

（II）若恒成立，證明：當(dāng)時(shí)，.

（III）在（II）的條件下，證明：.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖所示，在底面為正方形的四棱錐P—ABCD中，AB=2，PA=4，PB=PD=，AC與BD相交于點(diǎn)O，E，G分別為PD，CD中點(diǎn)，

(1)求證：EO//平面PBC；

(2)設(shè)線段BC上點(diǎn)F滿足BC=3BF，求三棱錐E—OFG的體積．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案