Question

已知橢圓C的焦點在x軸上，過橢圓C的右焦點F（C，0）作兩直線AC和BD，它們分別交橢圓于A、B、C、D．且

AC

•

BD

=0，沿AC直線的方向向量為（cosθ，sinθ）．
（1）用a，b，c，θ表示四邊形ABCD的面積；
（2）若已知四邊形ABCD面積最小值為8，最大值為

25

2

，求橢圓C的方程．

Answer 1

考點：橢圓的標準方程,平面向量數(shù)量積的運算

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)已知條件可知直線AC的斜率為

sinθ

cosθ

，所以可寫出直線AC的方程：y=

sinθ

cosθ

(x-c)，設(shè)A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），聯(lián)立直線方程和橢圓方程可求出x₁+x₂，x₁x₂，所以可求出|AC|并化簡得，|AC|=

2ab2

a2-c2cos2θ

，同理|BD|=

2ab2

a2-c2sin2θ

，所以四邊形ABCD的面積為S=

1

2

|AC||BD|=

8a2b4

4a2b2+c4sin22θ

；
（2）由S知sin2θ=0時，Smax=

8a2b4

4a2b2

=2b2=

25

2

，這樣可求出b，再根據(jù)sin2θ=1時，S取最大值求出a，這樣便可求出橢圓的方程．

解答： 解：（1）設(shè)直線AC的方程為：y=

sinθ

cosθ

(x-c)，帶入橢圓方程

x2

a2

+

y2

b2

=1中并整理得：
（b²cos²θ+a²sin²θ）x²-2a²csin²θx+a²c²sin²θ-a²b²cos²θ=0；
設(shè)A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則：x1+x2=

2a2csin2θ

b2cos2θ+a2sin2θ

，x1x2=

a2c2sin2θ-a2b2cos2θ

b2cos2θ+a2sin2θ

；
∴|AC|=

1+ sin2θ cos2θ

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1 cos2θ

•

4a4c2sin4θ (b2cos2θ+a2sin2θ)2 - 4a2c2sin2θ-4a2b2cos2θ b2cos2θ+a2sin2θ

=

2ab2

b2cos2θ+a2sin2θ

=

2ab2

a2-c2cos2θ

；
直線BD和AC垂直，所以直線BD的斜率為-

cosθ

sinθ

，同理可得|BD|=

2ab2

a2-c2sin2θ

；
∴四邊形ABCD的面積S=

1

2

|AC||BD|=

2a2b4

(a2-c2cos2θ)(a2-c2sin2θ)

=

2a2b4

a2b2+ c4sin22θ 4

=

8a2b4

4a2b2+c4sin22θ

；
（2）S_ABCD當sin2θ=0，即θ=0時取最大值

8a2b4

4a2b2

=2b2=

25

2

，∴b=

5

2

；
sin2θ=1，即θ=

π

4

時取最小值

8a2b4

4a2b2+c4

=8，解得a=5；
∴橢圓的方程為：

x2

25

+

4y2

25

=1．

點評：考查直線的方向向量和直線斜率的關(guān)系，直線的點斜式方程，直線和橢圓的交點和對應(yīng)方程組解的關(guān)系，韋達定理，弦長公式，橢圓標準方程中a，b，c三個參數(shù)的關(guān)系，以及函數(shù)的最值．