Question

如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∠BAD=60°，AC∩BD=O．將菱形ABCD沿對(duì)角線AC折起，得到三棱錐B-ACD，點(diǎn)M是棱BC的中點(diǎn)，DM=2

2

．
（1）求證：OM∥平面ABD；
（2）求證：平面DOM⊥平面ABC；
（3）求二面角D-AB-O余弦值．

Answer 1

分析：（1）利用三角形中位線定理，證出OM∥AB，結(jié)合線面平行判定定理，即可證出OM∥平面ABD．
（2）根據(jù)題中數(shù)據(jù)，算出DO=

1

2

BD=2，OM=

1

2

AB=2，從而得到OD²+OM²=8=DM²，可得OD⊥OM．結(jié)合OD⊥AC利用線面垂直的判定定理，證出OD⊥平面ABC，從而證出平面DOM⊥平面ABC．
（3）作OE⊥AB于E，連結(jié)DE，利用線面垂直的判定與性質(zhì)證出AB⊥DE，可得∠DEO就是二面角D-AB-O的平面角． Rt△DOE中算出OE、DE的長(zhǎng)，利用三角函數(shù)的定義算出cos∠DEO=

OE

DE

=

21

7

，即得所求二面角的余弦值．

解答：解：（1）∵O為AC的中點(diǎn)，M為BC的中點(diǎn)，∴OM∥AB．
又∵OM?平面ABD，AB?平面ABD，∴OM∥平面ABD．
（2）∵在菱形ABCD中，OD⊥AC，∴在三棱錐B-ACD中，OD⊥AC．
在菱形ABCD中，AB=AD=4，∠BAD=60°，可得BD=4．
∵O為BD的中點(diǎn)，∴DO=

1

2

BD=2．
∵O為AC的中點(diǎn)，M為BC的中點(diǎn)，∴OM=

1

2

AB=2．
因此，OD²+OM²=8=DM²，可得OD⊥OM．
∵AC、OM是平面ABC內(nèi)的相交直線，∴OD⊥平面ABC．
∵OD?平面DOM，∴平面DOM⊥平面ABC．
（3）作OE⊥AB于E，連結(jié)DE，由（2）知OD⊥平面ABC，所以O(shè)D⊥AB．
∵OD、OE是平面ODE內(nèi)的相交直線，∴AB⊥平面ODE．
∵DE?平面ODE，∴AB⊥DE．
可得∠DEO就是二面角D-AB-O的平面角．
在Rt△DOE中，OD=2，EO=

OA×OB

AB

=

3

，DE=

OD2+EO2

=

7

，
∴cos∠DEO=

OE

DE

=

21

7

，即二面角D-AB-0的余弦值為

21

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出平面折疊問題，求證線面平行、面面垂直并求二面角的余弦值，著重考查了線面平行判定定理、線面垂直與面面垂直的判定和二面角的平面角的定義與求法等知識(shí)，屬于中檔題．