Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC．
（1）求證：PC⊥AB．
（2）求二面角B-AP-C的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取AB中點D，利用等腰三角形的性質可得PD⊥AB，CD⊥AB，由線面垂直的判定定理可得AB⊥平面PCD，從而得到
 PC⊥AB．
（Ⅱ）利用線面垂直的判定定理得BC⊥平面PAC，取AP中點E，可證∠BEC是二面角B-AP-C的平面角，利用
 sin∠BEC=

BC

BE

 求出結果．

解答：
解：（Ⅰ）取AB中點D，連接PD，CD．∵AP=BP，∴PD⊥AB．∵CA=CB，∴CD⊥AB．
∵PD∩CD=D，∴AB⊥平面PCD．∵PC?平面PCD，∴PC⊥AB．
（Ⅱ）∵AC=BC，PA=PAB，∴△APC≌△BPC，又 PC⊥AC，∴PC⊥BC．
又∠ACB=90°，即 AC⊥BC，且 AC∩PC=C，∴BC⊥平面PAC．
取AP中點E，連接BE，CE．∵BA=BP，∴BE⊥AP．∵EC是BE在平面PAC內(nèi)的射影，
∴CE⊥AP．∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角．
在△BCE中，∠BCE=90°，BC=2，BE=

3

2

AB=

6

，∴sin∠BEC=

BC

BE

=

6

3

．
∴二面角B-AP-C的正弦值為

6

3

．

點評：本題考查證明線線垂直的方法，求二面角的平面角的大小的方法，找出二面角的平面角是解題的關鍵．