Question

【題目】蜂巢是由工蜂分泌蜂蠟建成的.從正面看，蜂巢口是由許多正六邊形的中空柱狀體連接而成，中空柱狀體的底部是由三個(gè)全等的菱形面構(gòu)成.如圖，在正六棱柱的三個(gè)頂點(diǎn)處分別用平面，平面，平面截掉三個(gè)相等的三棱錐，，，平面，平面，平面交于點(diǎn)，就形成了蜂巢的結(jié)構(gòu)，如下圖（4）所示，

瑞士數(shù)學(xué)家克尼格利用微積分的方法證明了蜂巢的這種結(jié)構(gòu)是在相同容積下所用材料最省的，英國(guó)數(shù)學(xué)家麥克勞林通過計(jì)算得到菱形的一個(gè)內(nèi)角為，即.以下三個(gè)結(jié)論①；② ；③四點(diǎn)共面，正確命題的個(gè)數(shù)為______個(gè)；若，，，則此蜂巢的表面積為_______.

Answer 1

【答案】2

【解析】

根據(jù)正六棱柱底面正六邊形的性質(zhì)可判斷出邊之間的大小關(guān)系及平行關(guān)系；根據(jù)已知條件求出表面各邊的長(zhǎng)度，蜂巢的表面積即由6個(gè)梯形和3個(gè)菱形組成，分別求出梯形和菱形的面積代入即可.

由題可得：，

六邊形是正六邊形，

所以，即有，

所以①錯(cuò)誤；

用平面，平面，平面截掉

三個(gè)相等的三棱錐，，，

所以平面與底面平行，

所以有：、、,

在正六邊形中，

所以；②正確；

因?yàn)?/span>，

所以，即四點(diǎn)共面，③正確；

因此正確個(gè)數(shù)有2個(gè)；

連接，，如圖：

由題意可得：且，

因?yàn)?/span>，，

所以，

即有，

四邊形為菱形，

所以在中可求出，

，

所以，

，

所以蜂巢的表面積為

故答案為：