Question

（2013•嘉定區(qū)二模）設定義域為R的函數f(x)=

1 |x-1| ，x≠1 1，x=1

，若關于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有3個不同的整數解x₁，x₂，x₃，則x₁²+x₂²+x₃²等于

5

．

Answer 1

分析：根據已知中函數f(x)=

1 |x-1| ，x≠1 1，x=1

的解析式，我們可以畫出函數f(x)=

1 |x-1| ，x≠1 1，x=1

的圖象，根據圖象我們可以判斷出關于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有3個不同的整數解x₁，x₂，x₃時，x₁，x₂，x₃的值，進而求出x₁²+x₂²+x₃²的值．

解答：解：函數f(x)=

1 |x-1| ，x≠1 1，x=1

的圖象如圖所示：
由圖易得函數的值域為（0，+∞）
令t=f（x）
則方程f²（x）+bf（x）+c=0
可化為t²+bt+c+0，
若此方程無正根，則方程f²（x）+bf（x）+c=0無根
若此方程有一個非1的正根，則方程f²（x）+bf（x）+c=0有兩根；
若此方程有一個等 1的正根，則方程f²（x）+bf（x）+c=0有三根；
此時t=f（x）=1，x₁=0，x₂=1，x₃=2，x₁²+x₂²+x₃²=5
若此方程有兩個非1的正根，則方程f²（x）+bf（x）+c=0有四根；
若此方程有一個非1，一個等1的正根，則方程f²（x）+bf（x）+c=0有五根；
綜上x₁²+x₂²+x₃²=5
故答案為：5

點評：本題考查的知識點是分段函數的解析式及其圖象的作法，根的存在性及根的個數判斷，其中畫出函數f(x)=

1 |x-1| ，x≠1 1，x=1

的圖象，根據圖象我們可以判斷出關于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有3個不同的整數解x₁，x₂，x₃時，所滿足的條件是解答醒本題的關鍵．