Question

【題目】已知右焦點(diǎn)為的橢圓過點(diǎn)，且橢圓關(guān)于直線對(duì)稱的圖形過坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）過點(diǎn)且不垂直于軸的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，證明：直線與軸的交點(diǎn)為.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題中條件運(yùn)用基本量之間的關(guān)系求解；（2）借助題設(shè)條件運(yùn)用直線和橢圓的位置關(guān)系建立坐標(biāo)之間的關(guān)系，再用坐標(biāo)之間的關(guān)系分析推證即可.

試題解析：（1）解：∵橢圓過點(diǎn)，∴，①………………………………1分

∵橢圓關(guān)于直線對(duì)稱的圖形過坐標(biāo)原點(diǎn)，∴，………………………………2分

∵，∴，②…………………………………………………………3分

由①②得，，……………………………………………………4分

∴橢圓的方程為.………………………………………………5分

（2）證明：易知直線的斜率必存在，設(shè)直線的方程為，

代入得，

由得，.…………………………7分

設(shè)，，則

，，……………………………………8分

則直線的方程為，

令得：

，

∴直線過定點(diǎn)，又的右焦點(diǎn)為，∴直線與軸的交點(diǎn)為.…………12分