已知函數(shù)，（為自然對數(shù)的底數(shù)）。

（1）當時，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值；

（2）若對任意給定的，在上總存在兩個不同的，使得成立，求的取值范圍。

 

【答案】

（1）最大值為0，最小值。（2）。

【解析】

試題分析：（1）當時，，，…………2分

則函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，……………

又，則，        ………………5分

。                           …………………6分

（2），則函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，

又，則函數(shù)的值域為�！�8分

則轉化為：當時，在區(qū)間上有兩個不同的根。…………9分

而。

當時，函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，不符合題意�！�10分

當時，有，函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，

不符合題意。                                         ………………………11分

當時，有，此時函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，而當趨于零時，趨于正無窮，且最小值為。

要使在區(qū)間上有兩個不同的根，則。 ………12分

又，且，故只要，得。

而，從而有。          ……14分

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調區(qū)間和最值；導數(shù)的綜合應用。

點評：在高考中，重點考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，求單調區(qū)間、極值、最值，以及利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題。多以解答題的形式出現(xiàn)，屬于中、高檔題目。

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（12分）已知函數(shù)且e為自然對數(shù)的底數(shù)）。

（1）求的導數(shù)，并判斷函數(shù)的奇偶性與單調性；

（2）是否存在實數(shù)t，使不等式對一切都成立，若存在，求出t；若不存在，請說明理由。

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科目：高中數(shù)學 來源：2014屆福建省、二中高二上學期期末聯(lián)考理科數(shù)學卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)，，(為自然對數(shù)的底數(shù))．

（Ⅰ）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；

（Ⅱ）函數(shù)在區(qū)間上恒為正數(shù)，求的最小值；

（Ⅲ）若對任意給定的，在上總存在兩個不同的，使得成立，求的取值范圍．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年湖南省懷化市高三第一次模擬考試理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)（，為自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）求函數(shù)的最小值；

（2）若≥0對任意的恒成立，求實數(shù)的值；

（3）在（2）的條件下，證明：

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2013屆江西省四校度高二下學期期末聯(lián)考理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分14分）

已知函數(shù)，(e為自然對數(shù)的底數(shù))

（Ⅰ）當a=1時，求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間；

（Ⅱ）若函數(shù)f(x)在上無零點，求a的最小值；

（III）若對任意給定的，在上總存在兩個不同的，使得成立，求a的取值范圍.

 

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