Question

已知函數(shù)f（x²-1）=log_a

x2

2-x2

（a＞0且a≠1）
（1）求函數(shù)f（x）的解析式，并判斷f（x）的奇偶性；
（2）解關(guān)于x的方程f（x）=log_a

1

x

．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì),函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）化簡(jiǎn)f（x²-1）=log_a

x2

2-x2

=log_a

x2-1+1

1-(x2-1)

，從而得f(x)=loga

1+x

1-x

，x∈（-1，1），再判斷f（-x）與f（x）的關(guān)系即可；
（2）方程f（x）=log_a

1

x

可化為

1+x

1-x

•x=1；從而解得．

解答： 解：（1）∵f（x²-1）=log_a

x2

2-x2

=log_a

x2-1+1

1-(x2-1)

，
∴f(x)=loga

1+x

1-x

，x∈（-1，1），
又∵f（-x）+f(x)=loga

1+x

1-x

+log_a

1-x

1+x

=0；
則f（x）是奇函數(shù)；
（2）方程f（x）=log_a

1

x

可化為

1+x

1-x

•x=1；
解得，x=

2

-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時(shí)考查了方程的解法，屬于基礎(chǔ)題．