已知點R(-3,0),點P在y軸上,點Q在x軸的正半軸上,點M在直線PQ上,且滿足2
PM
+3
MQ
=
0
,
RP
PM
=0

(Ⅰ)當(dāng)點P在y軸上移動時,求點M的軌跡C的方程;
(Ⅱ)設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)為軌跡C上兩點,且x1>1,y1>0,N(1,0),求實數(shù)λ,使
AB
AN
,且|AB|=
16
3
分析:(I)設(shè)出M的坐標(biāo),代入第一個向量等式,表示出P,Q的坐標(biāo);將P,Q的坐標(biāo)代入第二個向量等式,得到軌跡方程.
(II)分類討論直線的斜率;聯(lián)立直線與拋物線方程,表示出弦長求出k;檢驗根的范圍,將根代入向量關(guān)系求出λ.
解答:解:(Ⅰ)設(shè)點M(x,y),由2
PM
+3
MQ
=
0

得P(0,-
y
2
),Q(
x
3
,0
).
RP
PM
=0

得(3,-
y
2
)•(x,
3y
2
)=0,即y2=4x
又點Q在x軸的正半軸上,
∴x>0故點M的軌跡C的方程是y2=4x(x>0).(6分)
(Ⅱ)由題意可知為拋物線C:y2=4x的焦點,
且A、B為過焦點N的直線與拋物線C的兩個交點.
當(dāng)直線AB斜率不存在時,得A(1,2),B(1,-2),|AB|=4<
16
3
,不合題意;(7分)
當(dāng)直線AB斜率存在且不為0時,設(shè)lAB:y=k(x-1),代入y2=4x得k2x2-2(k2+2)x+k2=0
則|AB|=x1+x2+2=
2(k2+2)
k2
+2=4+
4
k2
=
16
3
,解得k2=3(10分)
代入原方程得3x2-10x+3=0,由于x1>1,
所以x1=3,x2=
1
3
,
AB
AN
,得λ=
x2-x1
xN-x1
=
3-
1
3
3-1
=
4
3
.(13分)
點評:本題考查求曲線方程的方法:相關(guān)點法;考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,常用的方法是將直線與圓錐曲線方程聯(lián)立;考查過焦點的直線與拋物線相交時弦長公式.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知點R(-3,0),點P在x軸的正半軸上,點Q在y軸上,點M在直線PQ上,且滿足2
QM
+3
MP
=
0
,
PM
QM
=1.
(1)求點M的軌跡C的方程;
(2)設(shè)直線l:y=x+m(m∈R)與曲線C恒有公共點求m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知點R(-3,0),點P在軸的正半軸上,點Q在軸上,點M在直線PQ上,且滿足

(1)求點M的軌跡C的方程;

(2)設(shè)直線與曲線C恒有公共點,求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2009-2010學(xué)年安徽省安慶市潛山縣野寨中學(xué)高三(上)第二次周考數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

已知點R(-3,0),點P在x軸的正半軸上,點Q在y軸上,點M在直線PQ上,且滿足2+3=,=1.
(1)求點M的軌跡C的方程;
(2)設(shè)直線l:y=x+m(m∈R)與曲線C恒有公共點求m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2006-2007學(xué)年江蘇省揚州市高三(下)調(diào)研數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

已知點R(-3,0),點P在y軸上,點Q在x軸的正半軸上,點M在直線PQ上,且滿足,
(Ⅰ)當(dāng)點P在y軸上移動時,求點M的軌跡C的方程;
(Ⅱ)設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)為軌跡C上兩點,且x1>1,y1>0,N(1,0),求實數(shù)λ,使,且

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案