Question

已知下列四個(gè)命題
①在△ABC中，若A＞B，則sinA＞sinB；
②若b²=ac，則a，b，c成等比數(shù)列；
③若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=n²+2n+1，則數(shù)列{b_n}從第二項(xiàng)起成等差數(shù)列；
④若△ABC為銳角三角形，則cosA＜sinB且cosB＜sinA；
其中正確的命題是

 

（請?zhí)钌纤�有正確命題的序號(hào)）．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡易邏輯

分析：①由三角形中的大邊對(duì)大角結(jié)合正弦定理說明①正確；
②舉例說明②錯(cuò)誤；
③由數(shù)列的前n項(xiàng)和求出其通項(xiàng)公式說明③正確；
④由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式結(jié)合正弦函數(shù)在(0，

π

2

)上的單調(diào)性說明④正確．

解答： 解：①在△ABC中，若A＞B，則a＞b，由正弦定理可得sinA＞sinB，命題①正確；
②若b²=ac，則a，b，c成等比數(shù)列錯(cuò)誤，如0=0×1，數(shù)列0，0，1不是等比數(shù)列，命題②錯(cuò)誤③；
③若數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和Sn=n2+2n+1，則a₁=S₁=4，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n²+2n+1-[（n-1）²+2（n-1）+1]=2n+1，n=1時(shí)不成立．
∴數(shù)列{b_n}從第二項(xiàng)起成等差數(shù)列，命題③正確；
④∵三角形ABC是銳角，
∴角A、B、C均為銳角，∴A+B＞

π

2

，即A＞

π

2

-B，
根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可知
sinA＞sin（

π

2

-B）=cosB，即sinA＞cosB
同理可得sinB＞cosA，命題④正確．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的判定方法，是中檔題．