Question

已知橢圓：的離心率為，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，若橢圓的焦距為2．

⑴求橢圓的方程；

⑵設(shè)為橢圓上任意一點(diǎn)，以為圓心，為半徑作圓，當(dāng)圓與橢圓的右準(zhǔn)線有公共點(diǎn)時，求△面積的最大值．

 

Answer 1

【答案】

⑴． ⑵。

【解析】

試題分析：⑴因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013072313471520219442/SYS201307231347563020453072_DA.files/image003.png">，且，所以．  2分

所以．  4分

所以橢圓的方程為．  6分

⑵設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則．

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013072313471520219442/SYS201307231347563020453072_DA.files/image011.png">，，所以直線的方程為．  8分

由于圓與有公共點(diǎn)，所以到 的距離小于或等于圓的半徑．

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013072313471520219442/SYS201307231347563020453072_DA.files/image017.png">，所以，  10分

即 ．

又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013072313471520219442/SYS201307231347563020453072_DA.files/image020.png">，所以．  12分

解得，又，∴．  14分

當(dāng)時，，所以   16分

考點(diǎn)：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，不等式的解法。

點(diǎn)評：中檔題，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，主要運(yùn)用了橢圓的幾何性質(zhì)，a,b,c,e的關(guān)系。曲線關(guān)系問題，往往通過聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，簡化解題過程。利用函數(shù)觀點(diǎn)，建立三角形面積的表達(dá)式，確定其最值。