(2013•黑龍江二模)已知向量
a
b
,
c
滿足:|
a
|=1,|
b
|=
2
,
b
a
上的投影為
1
2
,(
a
-
c
)(
b
-
c
)=0,則|
c
|的最大值為
1+
2
2
1+
2
2
分析:建立直角坐標系O-xy.設
a
=(1,0)
,由
b
a
上的投影為
1
2
,可得cos<
a
,
b
=
2
4
,得到sin<
a
,
b
=
1-(
2
4
)2
=
14
4
,即可得到
b
=(
1
2
7
2
)
.設
c
=(x,y)
,由(
a
-
c
)•(
b
-
c
)=0得(1-x,-y)•(
1
2
-x,
7
2
-y)=0
,得到(x-
3
4
)2+(y-
7
4
)2=
1
2
.得圓心C(
3
4
7
4
)
,半徑r=
2
2
.利用|
c
|
=
x2+y2
|
OC
|
+r即可得到|
c
|的最大值.
解答:解:建立直角坐標系O-xy.
a
=(1,0)
,
b
a
上的投影為
1
2
,
|
b
|
cos<
a
,
b
=
1
2
,∴cos<
a
,
b
=
2
4
,
sin<
a
b
=
1-(
2
4
)2
=
14
4
,
b
=(
1
2
,
7
2
)

c
=(x,y)
,由(
a
-
c
)•(
b
-
c
)=0得(1-x,-y)•(
1
2
-x,
7
2
-y)=0
,
(1-x)(
1
2
-x)-y(
7
2
-y)=0
,化為(x-
3
4
)2+(y-
7
4
)2=
1
2

得圓心C(
3
4
,
7
4
)
,半徑r=
2
2

|
c
|
=
x2+y2
|
OC
|
+r=
(
3
4
)2+(
7
4
)2
+
2
2
=1+
2
2

故|
c
|的最大值為1+
2
2

故答案為1+
2
2
點評:熟練掌握向量的數(shù)量積運算及其投影的意義、圓的標準方程、模的計算公式等是解題的關鍵.
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3
5
x+(
4
5
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3
5
x+(
4
5
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{-1,2}
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