Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=90°，AD∥BC，AD⊥側(cè)面PAB，△PAB是等邊三角形，DA=AB=2，，E是線段AB的中點．
（1）求證：PE⊥CD；
（2）求四棱錐P-ABCD的體積；
（3）試問線段PB上是否存在點F，使二面角C-DE-F的余弦值為？若存在，確定點F的位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用線面垂直的性質(zhì)可得AD⊥PE，利用等邊三角形的性質(zhì)可得：PE⊥AB．利用線面垂直的判定定理可得PE⊥平面ABCD．利用線面垂直的性質(zhì)即可得出；
（2）利用（1）可知：PE是四棱錐P-ABCD的高．再利用三棱錐的體積計算公式即可得出；
（3）通過建立空間直角坐標系，利用兩個平面的法向量的夾角公式即可得出．
解答：（1）證明：因為AD⊥側(cè)面PAB，PE?平面PAB，
所以AD⊥PE．
又因為△PAB是等邊三角形，E是線段AB的中點，
所以PE⊥AB．
因為AD∩AB=A，所以PE⊥平面ABCD．
而CD?平面ABCD，所以PE⊥CD．                    
（2）解：由（1）知PE⊥平面ABCD，所以PE是四棱錐P-ABCD的高．
由DA=AB=2，，可得BC=1．
因為△PAB是等邊三角形，可求得．
所以．
（3）解：以E為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系E-xyz．則A（0，1，0），E（0，0，0），B（0，-1，0），C（1，-1，0），D（2，1，0），P（0，0，）．
設，
則．
設=（x，y，z）為平面DEF的法向量，，

所以．
設平面CDE的法向量為=（0，0，1）．
．
化簡得3λ²+2λ-1=0．
解得．
所以存在點F，且．
點評：本題綜合考查了線面垂直的判定與性質(zhì)定理、等邊三角形的性質(zhì)、三棱錐的體積計算公式、通過建立空間直角坐標系利用法向量的夾角公式求二面角等基礎知識與基本技能，考查了空間想象能力、推理能力和計算能力．