Question

21．已知函數(shù)f（x）=px-

p

x

-2lnx，g（x）=

2e

x

，
（1）若p=2，求曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）若函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求正實數(shù)p的取值范圍；
（3）若p²-p≥0，且至少存在一點x₀∈[1，e]使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求實數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）p=2時，f（1）=2-2-2ln1=0，f′（x）=2+

2

x2

-

2

x

，由此能求出曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程．
（2）f′(x)=p+

p

x2

-

2

x

=

px2-2x+p

x2

，且x＞0，令h（x）=px²-2x+p，要使函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，只需h（x）≥0，由此能求出正實數(shù)p的取值范圍．
（3）g（x）=

2e

x

在[1，e）上是減函數(shù)，g（x）∈[2，2e]，當p≤0時，f（x）_max=f（1）=0＜2，不合題意；當p≥1時，只需f（x）_max＞g（x）_min，x∈[1，e]，由此能求出實數(shù)p的取值范圍．

解答： 解：（1）p=2時，f（x）=2x-

2

x

-2lnx，f（1）=2-2-2ln1=0，
f′（x）=2+

2

x2

-

2

x

，k=f′（1）=2+2-2=2，
∴曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為：
y-0=2（x-1），即y=2x-2．
（2）f′(x)=p+

p

x2

-

2

x

=

px2-2x+p

x2

，且x＞0，
令h（x）=px²-2x+p，
要使函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，只需h（x）≥0，
即h（x）=px²-2x+p≥0，等價于p≥

2x

x2+1

令t（x）=

2x

x2+1

，則t′(x)=

2-2x2

(x2+1)2

，由t′（x）=0，得x=1，或x=-1（舍），
0＜x＜1時，t′（x）＞0，x＞1時，t′（x）＜0，∴t（x）_max=t（1）=1，
∴正實數(shù)p的取值范圍是[1，+∞）．
（3）∵g（x）=

2e

x

在[1，e）上是減函數(shù)，
∴g（x）_min=g（e）=2，g（x）_max=g（1）=2e，
∴g（x）∈[2，2e]，
①p＜0時，h（x）=px²-2x+p，
其圖象為開口向下的拋物線，對稱軸x=

1

p

在y軸的左側(cè)，
且h（0）＜0，∴f（x）在[1，e]內(nèi)是減函數(shù)；
p=0，∵x∈[1，e]，∴f′(x)=-

2

x

＜0，∴f（x）在[1，e]內(nèi)是減函數(shù)，
∴當p≤0時，f（x）在[1，e]內(nèi)是減函數(shù)，
f（x）_max=f（1）=0＜2，不合題意．
②當p≥1時，由（2）知f（x）在[1，e]上是增函數(shù)，f（1）=0＜2，又g（x）在[1，e]上是減函數(shù)，
∴只需f（x）_max＞g（x）_min，x∈[1，e]，
而f（x）_max=f（e）=p（e-

1

e

）-2lne，g（x）_min=2，
∴p(e-

1

e

)-2lne＞2，解得p＞

4e

e2-1

，
∴實數(shù)p的取值范圍是（

4e

e2-1

，+∞）．

點評：本題主要考查了利用函數(shù)的導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值問題，考查學生分析解決問題的能力，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的能力，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質(zhì)的合理運用．