Question

已知a＞0，函數(shù)f（x）=x|x-a|+1（x∈R）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求所有使f（x）=x成立的x的值；
（2）當(dāng)a∈（0，3）時(shí)，求函數(shù)y=f（x）在閉區(qū)間[1，2]上的最小值；
（3）試討論函數(shù)y=f（x）的圖象與直線(xiàn)y=a的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：（1）把a(bǔ)=1代入f（x）=x|x-a|+1，解方程f（x）=x即可求得結(jié)果；
（2）去絕對(duì)值符號(hào)，f(x)=

x2-ax+1，x≥a -x2+ax+1，x＜a

，對(duì)a分情況討論，0＜a≤1時(shí)，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，2]上遞增，求出函數(shù)的最小值；當(dāng)1＜a≤2時(shí)，f（x）_min=f（a）=1；
當(dāng)2＜a＜3時(shí)，x≤2＜a，數(shù)f（x）_min=f（2）=2a-3；
（3）a＞0時(shí)，求出函數(shù)在各段上的函數(shù)的最值和單調(diào)性，即可對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論，即可求得結(jié)果．

解答：解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，有x|x-1|+1=x
所以x=-1或x=1；
（2）f(x)=

x2-ax+1，x≥a -x2+ax+1，x＜a

，
1°．當(dāng)0＜a≤1時(shí)，x≥1≥a，這時(shí)，f（x）=x²-ax+1，對(duì)稱(chēng)軸x=

a

2

≤

1

2

＜1，
所以函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，2]上遞增，f（x）_min=f（1）=2-a；
2°．當(dāng)1＜a≤2時(shí)，x=a時(shí)函數(shù)f（x）_min=f（a）=1；
3°．當(dāng)2＜a＜3時(shí)，x≤2＜a，這時(shí)，f（x）=-x²+ax+1，對(duì)稱(chēng)軸x=

a

2

∈(1，

3

2

)，
f（1）=a，f（2）=2a-3，∵（2a-3）-a=a-3＜0
所以函數(shù)f（x）_min=f（2）=2a-3；
（3）因?yàn)閍＞0，所以a＞

a

2

，
所以y₁=x²-ax+1在[a，+∞）上遞增；y₂=-x²+ax+1在(-∞，

a

2

)遞增，在[

a

2

，a)上遞減．
因?yàn)閒（a）=1，所以當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線(xiàn)y=a有2個(gè)交點(diǎn)；
又f(

a

2

)=

a2

4

+1≥2•

a

2

•1=a，當(dāng)且僅當(dāng)a=2時(shí)，等號(hào)成立．
所以，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線(xiàn)y=a有1個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線(xiàn)y=a有2個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)1＜a＜2時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線(xiàn)y=a有3個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線(xiàn)y=a有2個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)a＞2時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線(xiàn)y=a有3個(gè)交點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值問(wèn)題和函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)等知識(shí)，去絕對(duì)值求出函數(shù)的解析式，并對(duì)各段函數(shù)的最值的求解是解題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算能力和分析解決問(wèn)題的能力，屬難題．