Question

政府決定用“對社會貢獻(xiàn)率”對企業(yè)進(jìn)行評價，用a_n表示某企業(yè)第n年投入的治理污染費用，用b_n表示該企業(yè)第n年的產(chǎn)值．設(shè)a₁=a（萬元），且以后治理污染費用每年都比上一年增加3a（萬元）；又設(shè)b₁=b（萬元），且企業(yè)的產(chǎn)值每年均比上一年增長10%，用Pn=

anbn

100ab

表示企業(yè)第n年“對社會貢獻(xiàn)率”．   
（1）求該企業(yè)第一年和第二年的“對社會貢獻(xiàn)率”； 
（2）試問：從第幾年起該企業(yè)“對社會貢獻(xiàn)率”不低于30%？（1.1⁵=1.6105）

Answer 1

分析：（1）由a₁=a，a₂=4a，b₁=b，b₂=1.1b，能夠求出該企業(yè)第一年和第二年的“對社會貢獻(xiàn)率”．
（2）由 a_n=（3n-2）a，b_n=1.1^n-1b，知Pn=

(3n-2)•1.1 n-1

100

，再由

Pn+1

Pn

=

3n+1

3n-2

×1.1＞1，知{P_n}為遞增數(shù)列，由此能夠求出從第7年起，該企業(yè)“對社會貢獻(xiàn)率不低于30%”．

解答：解：（1）∵a₁=a，a₂=4a，b₁=b，b₂=1.1b，
∴P1=

ab

100ab

=1%，
P2=

4.4ab

100ab

=4.4%．
∴該企業(yè)第一年和第二年的“對社會貢獻(xiàn)率”分別為1%和4.4%．
（2）∵a_n=（3n-2）a，
b_n=1.1^n-1b，
∴Pn=

(3n-2)•1.1 n-1

100

，
∵

Pn+1

Pn

=

3n+1

3n-2

×1.1＞1，
即{P_n}為遞增數(shù)列，
又P7=

19×1.16

100

≈33.66%＞30%，
P6=

16×1.1  5

100

≈25.77%＜30%，
∴從第7年起，該企業(yè)“對社會貢獻(xiàn)率不低于30%”．

點評：本題考查數(shù)列在生產(chǎn)實際中的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，是高考的重點，易錯點是知識體系不牢固．解題時要注意數(shù)列單調(diào)性的靈活運(yùn)用．