Question

（2009•普寧市模擬）已知函數(shù)f（x）的定義域是{x|x∈R，x≠

k

2

，k∈Z}且f（x）+f（2-x）=0，f(x+1)=-

1

f(x)

，當0＜x＜

1

2

時，f（x）=3^x．
（1）求證：f（x）是奇函數(shù)；
（2）求f（x）在區(qū)間(2k+

1

2

，2k+1)(k∈Z）上的解析式；
（3）是否存在正整數(shù)k，使得當x∈(2k+

1

2

，2k+1)時，不等式log₃f（x）＞x²-kx-2k有解？證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）由已知中f(x+1)=-

1

f(x)

，可得f(x+2)=-

1

f(x+1)

=f(x)，進而結合f（x）+f（2-x）=0，可得f（x）+f（-x）=0，結合奇函數(shù)的定義，可得答案．
（2）由已知中當0＜x＜

1

2

時，f（x）=3^x．結合（1）中結論，可得f（x）在區(qū)間(2k+

1

2

，2k+1)(k∈Z）上的解析式；
（3）由（2）的結論及指數(shù)的運算性質，我依次為可將不等式log₃f（x）＞x²-kx-2k轉化為二次不等式的形式，進而分析出對應函數(shù)在區(qū)間(2k+

1

2

，2k+1)上的單調性，即可得到結論．

解答：解：（1）由f(x+1)=-

1

f(x)

得f(x+2)=-

1

f(x+1)

=f(x)，（3分）
由f（x）+f（2-x）=0得f（x）+f（-x）=0，（4分）
故f（x）是奇函數(shù)．（5分）
（2）當x∈(

1

2

，1)時，1-x∈(0，

1

2

)，
∴f（1-x）=3^1-x．     （7分）
而f(1-x)=-

1

f(-x)

=

1

f(x)

，
∴f（x）=3^x-1．       （9分）
當x∈(2k+

1

2

，2k+1)(k∈Z）時，x-2k∈(

1

2

，1)，
∴f（x-2k）=3^x-2k-1，
因此f（x）=f（x-2k）=3^x-2k-1．                      （11分）
（3）不等式log₃f（x）＞x²-kx-2k即為x-2k-1＞x²-kx-2k，
即x²-（k+1）x+1＜0．                          （13分）
令g（x）=x²-（k+1）x+1，對稱軸為x=

k+1

2

＜2k+

1

2

，
因此函數(shù)g（x）在(2k+

1

2

，2k+1)上單調遞增．         （15分）
因為g(2k+

1

2

)=(2k+

1

2

)2-(k+1)(2k+

1

2

)+1=(2k+

1

2

)(k-

1

2

)+1，又k為正整數(shù)，
所以g(2k+

1

2

)＞0，因此x²-（k+1）x+1＜0在(2k+

1

2

，2k+1)上恒成立，（17分）
因此不存在正整數(shù)k使不等式有解．                     （18分）

點評：本題考查的知識點是對數(shù)函數(shù)圖象與性質的綜合應用，其中（1）的關鍵由已知條件得到f（x）+f（-x）=0，（2）的關鍵是由已知判斷出f（x）=f（x-2k），（3）的關鍵是根據(jù)（2）的結論構造關于k的不等式．