Question

已知定義在區(qū)間（-1，1）上的函數(shù)f（x）=x+log 

1

2

1-x

1+x

．
（1）試判斷f（x）的奇偶性；
（2）當(dāng)x∈[-

1

3

，

1

3

]時(shí)，f（x）是否存在最大值？若存在求出它的最大值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用奇函數(shù)的定義證明即可；
（2）證明f（x）=g（x）+log 

1

2

t（x）在[-

1

3

，

1

3

]為增函數(shù)，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）對(duì)于任意的x∈（-1，1），
∵f（-x）=-x+log

1

2

1+x

1-x

=-x-log 

1

2

1-x

1+x

=-f（x），
∴f（x）是奇函數(shù)．
（2）設(shè)g（x）=x，t（x）=

1-x

1+x

，則f（x）=g（x）+log 

1

2

t（x），且g（x）在[-

1

3

，

1

3

]為增函數(shù)，
∵t（x）=

1-x

1+x

=-1+

2

1+x

在[-

1

3

，

1

3

]為減函數(shù)，
所以f（x）=g（x）+log 

1

2

t（x）在[-

1

3

，

1

3

]為增函數(shù)．
∴當(dāng)x=

1

3

時(shí)，f（x）有最大值，且最大值為

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的最值及其幾何意義，考查函數(shù)的奇偶性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．