Question

1．已知等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，S₃=$\frac{7}{2}$，S₆=$\frac{63}{2}$．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）令b_n=6n-61+log₂a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n．

Answer 1

分析 （1）通過S₃=$\frac{7}{2}$與S₆=$\frac{63}{2}$相除可得公比q=2，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論；
（2）通過a_n=2^n-2及對數(shù)的性質(zhì)可知b_n=7n-63，利用等差數(shù)列的求和公式計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵S₃=$\frac{7}{2}$，S₆=$\frac{63}{2}$，
∴q≠1，
∴$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{3}）}{1-q}$=$\frac{7}{2}$，$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{6}）}{1-q}$=$\frac{63}{2}$，
兩式相除得：1+q³=9，解得q=2，
∴a₁=$\frac{1}{2}$，
∴a_n=$\frac{1}{2}$•2^n-1=2^n-2；
（2）∵a_n=2^n-2，
∴b_n=6n-61+log₂a_n
=6n-61+$lo{g}_{2}{2}^{n-2}$
=7n-63，
∴b_n+1-b_n=[7（n+1）-63]-（7n-63）=7，
∴數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為-56、公差為7的等差數(shù)列，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n=$\frac{n（-56+7n-63）}{2}$=$\frac{7{n}^{2}-119n}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，注意解題方法的積累，屬于中檔題．