Question

若xe^x≥mx-e對(duì)?x∈R恒成立，則m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：對(duì)x分類討論，再利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答： 解：∵xe^x≥mx-e，
當(dāng)x=0時(shí)，對(duì)于m取任何值，0＞-e恒成立，
當(dāng)x＞0時(shí)，m≤ex+

e

x

恒成立，
設(shè)f（x）=ex+

e

x

，
則f′（x）=e^x-

e

x2

，
令f′（x）=0，解得x=1，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
故當(dāng)x=1時(shí)，f（x）有最小值，最小值為f（1）=2e，
∴m≤2e，
當(dāng)x＜0時(shí)，m≥ex+

e

x

恒成立，
設(shè)g（x）=ex+

e

x

，
則g′（x）=e^x-

e

x2

＜0，
∴g（x）在（-∞，0）單調(diào)遞減，
當(dāng)x趨向于-∞時(shí)，g（x）趨向于0，
故g（x）越來(lái)越與x軸靠近，
∴m≥0，
綜上所述，m的取值范圍是[0，2e]
故答案為[0，2e]

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、分類討論、恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．