已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率為.斜率為的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，以為底邊作等腰三角形，頂點(diǎn)為.
（1）求橢圓的方程；
（2）求△的面積．

（1）；（2）.

解析試題分析：（1）要求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，就是要求得，因此我們要尋找關(guān)于的兩個(gè)等式，本題中有離心率，是一個(gè)等式，另一個(gè)是橢圓過(guò)點(diǎn)，即，再結(jié)合可解得，得到標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）要求△的面積，應(yīng)該先確定位置，也即確定直線，我們可以設(shè)的方程為，條件是以為底邊的等腰三角形怎么應(yīng)用？這個(gè)條件用得較多的是其性質(zhì)，三線合一，即取的中點(diǎn)，則有，我們就用這個(gè)來(lái)求出參數(shù)的值，方法是設(shè)，的中點(diǎn)為，把直線方程代入橢圓方程，可得，從而求出用表示，再由可很快求得，以后就可得到點(diǎn)的坐標(biāo)，求出面積.
試題解析：（1）由已知得.              1分
解得.又，所以橢圓G的方程為.     4分
（2）設(shè)直線l的方程為.
由得.  ①             6分
設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為AB中點(diǎn)為E，
則.                     8分
因?yàn)?i>AB是等腰△的底邊，
所以PE⊥AB.所以PE的斜率，解得m=2.        10分
此時(shí)方程①為，解得，
所以，所以|AB|=.
此時(shí)，點(diǎn)P（－3，2）到直線AB：的距離，
所以△的面積S=.                        12分
考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓相交綜合問題(相交弦長(zhǎng)，點(diǎn)到直線距離，三角形面積等).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，其短軸兩端點(diǎn)為.
（1）求橢圓的方程；
（2）若是橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線與軸分別交于點(diǎn).判斷以為直徑的圓是否過(guò)點(diǎn)，并說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別
為，其上頂點(diǎn)為已知是邊長(zhǎng)為的正三角形．
（1）求橢圓的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)任作一動(dòng)直線交橢圓于兩點(diǎn)，記．若在線段上取一點(diǎn)，使得，當(dāng)直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)在某一定直線上運(yùn)動(dòng)，求出該定直線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓C：（a>b>0），過(guò)點(diǎn)(0，1)，且離心率為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)A，B為橢圓C的左右頂點(diǎn)，直線l：x=2與x軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)P是橢圓C上異于A，B的動(dòng)點(diǎn)，直線AP，BP分別交直線l于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．證明：當(dāng)點(diǎn)P在橢圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，恒為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之和為，線段的長(zhǎng)為.

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)作直線與軌跡交于、兩點(diǎn)，且點(diǎn)在線段的上方，
線段的垂直平分線為.
①求的面積的最大值；
②軌跡上是否存在除、外的兩點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，點(diǎn)是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，的長(zhǎng)軸是圓的直徑，、是過(guò)點(diǎn)且互相垂直的兩條直線，其中交圓于、兩點(diǎn)，交橢圓于另一點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；
（2）求面積的最大值及取得最大值時(shí)直線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切。
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，且，試判斷的面積是否為定值？若為定值，求出定值；若不為定值，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率，長(zhǎng)軸的左右端點(diǎn)分別為，．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)動(dòng)直線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且與直線相交于點(diǎn).問在軸上是否存在定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知是橢圓E：的兩個(gè)焦點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為橢圓E的一個(gè)焦點(diǎn)，直線y＝上到焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2距離之和最小的點(diǎn)P恰好在橢圓E上，

（1）求橢圓E的方程；
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)M，使以AB為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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