【題目】已知函數(shù)

(1)若,求的單調(diào)區(qū)間;

(2)證明:只有一個(gè)零點(diǎn).

【答案】解:

(1)當(dāng)a=3時(shí),fx)=,f ′(x)=

f ′(x)=0解得x=x=

當(dāng)x∈(–∞,)∪(,+∞)時(shí),f ′(x)>0;

當(dāng)x∈(,)時(shí),f ′(x)<0.

fx)在(–∞,),(,+∞)單調(diào)遞增,在(,)單調(diào)遞減.

(2)由于,所以等價(jià)于

設(shè)=,則g ′(x)=≥0,僅當(dāng)x=0時(shí)g ′(x)=0,所以gx)在(–∞,+∞)單調(diào)遞增.故gx)至多有一個(gè)零點(diǎn),從而fx)至多有一個(gè)零點(diǎn).

f(3a–1)=,f(3a+1)=,故fx)有一個(gè)零點(diǎn).

綜上,fx只有一個(gè)零點(diǎn).

【解析】分析:(1)將代入,求導(dǎo)得,令求得增區(qū)間,令求得減區(qū)間;(2)令,即,則將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)問題,研究函數(shù)單調(diào)性可得.

詳解(1)當(dāng)a=3時(shí),fx)=,f ′(x)=

f ′(x)=0解得x=x=

當(dāng)x∈(–∞,)∪(,+∞)時(shí),f ′(x)>0;

當(dāng)x∈(,)時(shí),f ′(x)<0.

fx)在(–∞,),(,+∞)單調(diào)遞增,在(,)單調(diào)遞減.

(2)由于,所以等價(jià)于

設(shè)=,則g ′(x)=≥0,僅當(dāng)x=0時(shí)g ′(x)=0,所以gx)在(–∞,+∞)單調(diào)遞增.故gx)至多有一個(gè)零點(diǎn),從而fx)至多有一個(gè)零點(diǎn).

f(3a–1)=,f(3a+1)=,故fx)有一個(gè)零點(diǎn).

綜上,fx只有一個(gè)零點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

2)證明:對(duì)任意的,存在唯一的,使;

3)設(shè)(2)中所確定的關(guān)于的函數(shù)為,證明:當(dāng)時(shí),有.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知四棱錐的底面為直角梯形,,是以為底邊的等腰直角三角形.

(1)求證:;

(2)若的垂心,求二面角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系中,曲線為參數(shù)).以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線.

(1)求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程;

(2)若曲線交于,兩點(diǎn),,的中點(diǎn)為,點(diǎn),求的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某電動(dòng)汽車“行車數(shù)據(jù)”的兩次記錄如下表:

記錄時(shí)間

累計(jì)里程

(單位:公里)

平均耗電量(單位:公里)

剩余續(xù)航里程

(單位:公里)

2019年1月1日

4000

0.125

280

2019年1月2日

4100

0.126

146

(注:累計(jì)里程指汽車從出廠開始累計(jì)行駛的路程,累計(jì)耗電量指汽車從出廠開始累計(jì)消耗的電量,平均耗電量=,剩余續(xù)航里程=,下面對(duì)該車在兩次記錄時(shí)間段內(nèi)行駛100公里的耗電量估計(jì)正確的是

A. 等于12.5B. 12.5到12.6之間

C. 等于12.6D. 大于12.6

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在某海濱城市附近海面有一臺(tái)風(fēng),據(jù)監(jiān)測(cè),當(dāng)前臺(tái)風(fēng)中心位于城市(如圖)的東偏南方向300千米的海面處,并以20千米/時(shí)的速度向西偏北45°方向移動(dòng),臺(tái)風(fēng)侵襲的范圍為圓形區(qū)域,當(dāng)前半徑為60千米,并以10千米/時(shí)的速度不斷增大,問幾個(gè)小時(shí)后該城市開始受到臺(tái)風(fēng)的侵襲?受到臺(tái)風(fēng)的侵襲的時(shí)間有多少小時(shí)?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某高校在2012年的自主招生考試成績(jī)中隨機(jī)抽取名中學(xué)生的筆試成績(jī),按成績(jī)分組,得到的頻率分布表如表所示.

組號(hào)

分組

頻數(shù)

頻率

第1組

5

第2組

第3組

30

第4組

20

第5組

10

(1)請(qǐng)先求出頻率分布表中位置的相應(yīng)數(shù)據(jù),再完成頻率分布直方圖;

(2)為了能選拔出最優(yōu)秀的學(xué)生,高校決定在筆試成績(jī)高的第組中用分層抽樣抽取名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試,求第3、4、5組每組各抽取多少名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試;

(3)在(2)的前提下,學(xué)校決定在名學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生接受考官進(jìn)行面試,求:第組至少有一名學(xué)生被考官面試的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,某地有三家工廠,分別位于矩形ABCD的頂點(diǎn)A,B以及CD的中點(diǎn)P處,已知AB=20km,CB=10km,為了處理三家工廠的污水,現(xiàn)要在矩形ABCD內(nèi)(含邊界),且與A,B等距離的一點(diǎn)O處建造一個(gè)污水處理廠,并鋪設(shè)排污管道AO,BO,OP,設(shè)排污管道的總長(zhǎng)為km

(I)設(shè),將表示成的函數(shù)關(guān)系式;

(II)確定污水處理廠的位置,使三條排污管道的總長(zhǎng)度最短,并求出最短值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在梯形ABCD中,ABCD,AD=DC=CB=a,∠ABC=,平面ACFE⊥平面ABCD,四邊形ACFE是矩形,AE=AD,點(diǎn)M在線段EF上。

(1)求證:BC⊥平面ACFE;

(2)若,求證:AM∥平面BDF.

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