Question

已知

x-y+2≥0 x+y-4≥0 2x-y-5≤0

求：
（Ⅰ）z=x²+y²-10y+25的最小值；
（Ⅱ）z=

y+1

x+1

的范圍．

Answer 1

分析：（I）作出不等式組表示的平面區(qū)域，得到如圖的△ABC及其內(nèi)部．由兩點(diǎn)的距離公式得z=x²+（y-5）²=|PQ|²，表示區(qū)域內(nèi)某點(diǎn)P到Q（0，5）距離的平方，由此結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式即可算出z的最小值．
（II）由直線的斜率公式可得z=

y+1

x+1

表示域內(nèi)某點(diǎn)P與M（-1，-1）連線的斜率，運(yùn)動點(diǎn)P可得直線PM斜率的最大、最小值，即可得出z=

y+1

x+1

的取值范圍．

解答：解：作出不等式組

x-y+2≥0 x+y-4≥0 2x-y-5≤0

表示的平面區(qū)域，
得到如圖的△ABC及其內(nèi)部，其中A（3，1），B（7，9），C（1，3）
（Ⅰ）設(shè)P（x，y）為區(qū)域內(nèi)一個動點(diǎn)，Q（0，5）
∵z=x²+y²-10y+25=x²+（y-5）²=|PQ|²，表示點(diǎn)P、Q兩點(diǎn)距離的平方
∴當(dāng)點(diǎn)P與Q在直線x-y+2=0上的射影重合時，z=x²+y²-10y+25達(dá)最小值
∵Q到直線x-y+2=0的距離d=

|0-5+2|

2

=

3 2

2

∴z=x²+y²-10y+25的最小值為（

3 2

2

）²=

9

2

；
（II）設(shè)P（x，y）為區(qū)域內(nèi)一個動點(diǎn)，M（-1，-1），
可得z=

y+1

x+1

表示P、M兩點(diǎn)連線的斜率
運(yùn)動點(diǎn)P，可得當(dāng)P與A重合時，k_PM=

1

2

達(dá)到最小值；當(dāng)P與C重合時，k_PM=2達(dá)到最大值
∴

1

2

≤k_PM≤2，即z=

y+1

x+1

的取值范圍為[

1

2

，2]．

點(diǎn)評：本題給出二元一次不等式組，求目標(biāo)函數(shù)的最值與取值范圍，著重考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域、兩點(diǎn)的距離公式和直線的斜率等知識，屬于基礎(chǔ)題．