Question

17．直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD為正方形，邊長為2，側(cè)棱A₁A=3，M、N分別為A₁B₁、A₁D₁的中點，E、F分別是B₁C₁、C₁D₁的中點．
（1）求證：平面AMN∥平面EFDB；
（2）求平面AMN與平面EFDB的距離．

Answer 1

分析 （1）連接B₁D₁，NF，證明MN∥平面EFDB，AN∥平面EFDB，即可證明平面AMN∥平面EFDB；
（2）平面AMN與平面EFDB的距離=B到平面AMN的距離h，利用等體積求平面AMN與平面EFDB的距離．

解答 （1）證明：連接B₁D₁，NF
∵M(jìn)、N分別為A₁B₁、A₁D₁的中點，E、F分別是B₁C₁、C₁D₁的中點，
∴MN∥EF∥B₁D₁，
∵M(jìn)N?平面EFDB，EF?平面EFDB，
∴MN∥平面EFDB，
∵NF平行且等于AB，
∴ABFN是平行四邊形，
∴AN∥BF，
∵AN?平面EFDB，BF?平面EFDB，
∴AN∥平面EFDB，
∵AN∩MN=N，
∴平面AMN∥平面EFDB；
（2）解：平面AMN與平面EFDB的距離=B到平面AMN的距離h．
△AMN中，AM=AN=$\sqrt{10}$，MN=$\sqrt{2}$，S_△AMN=$\frac{1}{2}•\sqrt{2}•\sqrt{10-\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{19}}{2}$，
∴由等體積可得$\frac{1}{3}•\frac{\sqrt{19}}{2}h=\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•2•2•3$，
∴h=$\frac{12\sqrt{19}}{19}$．

點評 本題考查線面、面面平行的判定，考查平面與平面間距離的計算，屬于中檔題．