精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

【題目】14,9,16……這些數可以用圖1中的點陣表示,古希臘畢達哥拉斯學派將其稱為正方形數,記第個數為.在圖2的楊輝三角中,第行是展開式的二項式系數,…,,記楊輝三角的行所有數之和.

1)求的通項公式;

2)當時,比較的大小,并加以證明.

【答案】(Ⅰ),(Ⅱ),證明見解析

【解析】

(Ⅰ)由正方形數的特點知,由二項式定理的性質,求出楊輝三角形第個數的和,由此能求出的通項公式;

(Ⅱ)由時,,時,,證明:時,時,可以逐個驗證;證明時,時,可以用數學歸納法證明.

(Ⅰ)由正方形數的特點可知;

由二項式定理的性質,楊輝三角第個數的和為

所以.

(Ⅱ),,所以;

,所以;

,,所以

,,所以

,所以

猜想:當時,;當時,.

證明如下:

證法1

時,已證.

下面用數學歸納法證明:當時,.

①當時,已證:

②假設時,猜想成立,即,所以

那么,

所以,當時,猜想也成立.

根據①②,可知當時,.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】某課程考核分理論與實驗兩部分進行,每部分考核成績只記“合格”與“不合格”,兩部分考核都是“合格”,則該課程考核“合格”,若甲、乙、丙三人在理論考核中合格的概率分別為0.9,0.8,0.7,在實驗考核中合格的概率分別為0.8,0.7,0.9,所有考核是否合格相互之間沒有影響.

(1)求甲、乙、丙三人在理論考核中至少有兩人合格的概率;

(2)求這三個人該課程考核都合格的概率(結果保留三位小數).

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】已知正項數列的前項和為,且滿足:

(1)求的通項公式;

(2)設,求的前項和;

(3)在(2)的條件下,對任意,都成立,求整數的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】某學校為了加強學生數學核心素養(yǎng)的培養(yǎng),鍛煉學生自主探究學習的能力,他們以教材第97B組第3題的函數為基本素材,研究該函數的相關性質,取得部分研究成果如下:

①同學甲發(fā)現:函數是偶函數;

②同學乙發(fā)現:對于任意的都有

③同學丙發(fā)現:對于任意的,都有;

④同學丁發(fā)現:對于函數定義域中任意的兩個不同實數,總滿足.

其中所有正確研究成果的序號是__________

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】設函數

(1)討論的單調性;

(2)證明:當時,

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】甲、乙兩支籃球隊賽季總決賽采用7場4勝制,每場必須分出勝負,場與場之間互不影響,只要有一隊獲勝4場就結束比賽.現已比賽了4場,且甲籃球隊勝3場.已知甲球隊第5,6場獲勝的概率均為,但由于體力原因,第7場獲勝的概率為

(1)求甲隊分別以獲勝的概率;

(2)設表示決出冠軍時比賽的場數,求的分布列及數學期望.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上,在小艇出發(fā)時,輪船位于港口的O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處,并正以30海里/小時的航行速度沿正東方向勻速行駛.假設該小艇沿直線方向以v海里/小時的航行速度勻速行駛,經過t小時與輪船相遇.

I)若希望相遇時小艇的航行距離最小,則小艇航行速度的大小應為多少?

II)為保證小艇在30分鐘內(含30分鐘)能與輪船相遇,試確定小艇航行速度的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】在四面體中,,則四面體體積最大時,它的外接球半徑_________

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】(題文)如圖所示的某種容器的體積為,它是由圓錐和圓柱兩部分連接而成,圓柱與圓錐的底面半徑都為.圓錐的高為,母線與底面所成的角為;圓柱的高為已知圓柱底面的造價為,圓柱側面造價為,圓錐側面造價為

(1)將圓柱的高表示為底面半徑的函數,并求出定義域;

(2)當容器造價最低時,圓柱的底面半徑為多少?

查看答案和解析>>

同步練習冊答案