Question

已知函數(shù)f（x）=（x²+ax+b）e^-x在x=1處取得極值．
（1）求b的值；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求導(dǎo)由題意得f'（1）=0⇒b=1，（2）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再通過(guò)討論a的范圍和導(dǎo)數(shù)符號(hào)，從而求出數(shù)f（x）的單調(diào)性．

解答： 解：（1）∵f（x）=（x²+ax+b）e^-x，
∴f'（x）=（2x+a）e^-x-（x²+ax+b）e^-x=[-x²+（2-a）x+（a-b）]e^-x，
由題意在x=1處取得極值得f'（1）=0，
∴e^-1（1-b）=0，
∴b=1，
經(jīng)檢驗(yàn)，b=1符合題意；
（2）由（1）得f（x）=（x²+ax+1）e^-x，
令f′（x）=[-x²+（2-a）x+（a-1）]e^-x=-（x-1）[x-（1-a）]e^-x，
e^-x＞0對(duì)任意x∈R都成立，
令f′（x）=0，解得x₁=1，x₂=1-a，
①當(dāng)1=1-a即a=0時(shí)，f′（x）≤0，函數(shù)在R上單調(diào)遞減；
②當(dāng)a＞0即1-a＜1時(shí)，令f′（x）＞0，得1-a＜x＜1，則函數(shù)在（1-a，1）上單調(diào)遞增，
令f′（x）＜0，得x＜1-a或x＞1，則函數(shù)在（-∞，1-a）和（1，+∞）上單調(diào)遞減；
③當(dāng)a＜0即1-a＜1時(shí)，令f′（x）＞0，得1＜x＜1-a，則函數(shù)在（1，1-a）上單調(diào)遞增，
令f′（x）＜0，得x＜1或x＞1-a，則函數(shù)在（-∞，1）和（1-a，+∞）上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的極值與最值，確定函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵．