求過兩點A(1,4)、B(3,2),且圓心在直線y=0上的圓的標準方程.并判斷點M1(2,3),M2(2,4)與圓的位置關(guān)系.
分析:要求圓的標準方程,只要求得圓心坐標和圓的半徑即可,根據(jù)垂徑定理可知圓心在線段AB的垂直平分線上,所以求出線段AB的中垂線方程與直線y=0聯(lián)立即可求出圓心坐標,然后利用兩點間的距離公式求出AO的長即為半徑,然后分別求出M1和M2到圓心的距離與半徑比較大小即可得到與圓的位置關(guān)系.
解答:解:因為圓過A、B兩點,所以圓心在線段AB的垂直平分線上.由kAB=
4-2
1-3
=-1,
AB的中點為(2,3),
故AB的垂直平分線的方程為y-3=x-2,即x-y+1=0.
又圓心在直線y=0上,
因此圓心坐標是方程組的解,即圓心坐標為(-1,0)
x-y+1=0
y=0

半徑r=
(-1-1)2+(0-4)2
=
20
,
所以得所求圓的標準方程為(x+1)2+y2=20.
因為M1到圓心C(-1,0)的距離為
(2+1)2+(3-0)2
=
18
,|M1C|<r,所以M1在圓C內(nèi);而點M2到圓心C的距離|M2C|=
(2+1)2+(4-0)2
=
25
20
,所以M2在圓C外.
點評:考查學生會根據(jù)條件求圓的標準方程,會根據(jù)點到圓心的距離與半徑比較大小得出點與圓的位置關(guān)系.
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