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【題目】已知函數，其中為實常數.

（1）若存在，使得在區(qū)間內單調遞減，求的取值范圍；

（2）當時，設直線與函數的圖象相交于不同的兩點，，證明：.

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】

（1）將所求問題轉化為在上有解，進一步轉化為函數最值問題；

（2）將所證不等式轉化為，進一步轉化為，然后再通過構造加以證明即可.

（1），根據題意，在內存在單調減區(qū)間，

則不等式在上有解，由得，設，

則，當且僅當時，等號成立，

所以當時，，所以存在，使得成立，

所以的取值范圍為。

（2）當時，，則，從而

所證不等式轉化為，不妨設，則不等式轉化

為，即，

即，令，則不等式轉化為，因為

，則，從而不等式化為，設，則

，所以在上單調遞增，所以

即不等式成立，故原不等式成立.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某濕地公園內有一條河，現打算建一座橋將河兩岸的路連接起來，剖面設計圖紙如下：

其中，點為軸上關于原點對稱的兩點，曲線段是橋的主體，為橋頂，且曲線段在圖紙上的圖形對應函數的解析式為，曲線段均為開口向上的拋物線段，且分別為兩拋物線的頂點，設計時要求：保持兩曲線在各銜接處（）的切線的斜率相等.

（1）求曲線段在圖紙上對應函數的解析式,并寫出定義域；

（2）車輛從經倒爬坡，定義車輛上橋過程中某點所需要的爬坡能力為：（該點與橋頂間的水平距離）（設計圖紙上該點處的切線的斜率），其中的單位：米.若該景區(qū)可提供三種類型的觀光車:①游客踏乘；②蓄電池動力；③內燃機動力.它們的爬坡能力分別為米,米,米,又已知圖紙上一個單位長度表示實際長度米,試問三種類型的觀光車是否都可以順利過橋?

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，直線的的參數方程為（其中為參數），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標系中，點的極坐標為，直線經過點．曲線的極坐標方程為.

（1）求直線的普通方程與曲線的直角坐標方程；

（2）過點作直線的垂線交曲線于兩點(在軸上方)，求的值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】若對任意，恒有，則實數的最小值為（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某搜索引擎廣告按照付費價格對搜索結果進行排名，點擊一次付費價格排名越靠前，被點擊的次數也可能會提高，已知某關鍵詞被甲、乙等多個公司競爭，其中甲、乙付費情況與每小時點擊量結果繪制成如下的折線圖.

（1）若甲公司計劃從這10次競價中隨機抽取3次競價進行調研，其中每小時點擊次數超過7次的競價抽取次數記為，求的分布列與數學期望；

（2）若把乙公司設置的每次點擊價格為x，每小時點擊次數為，則點近似在一條直線附近.試根據前5次價格與每小時點擊次數的關系，求y關于x的回歸直線.（附：回歸方程系數公式：）.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某校為研究學生語言學科的學習情況，現對高二200名學生英語和語文某次考試成績進行抽樣分析. 將200名學生編號為001，002，…，200，采用系統(tǒng)抽樣的方法等距抽取10名學生，將10名學生的兩科成績(單位：分)繪成折線圖如下：

（Ⅰ）若第一段抽取的學生編號是006，寫出第五段抽取的學生編號；

（Ⅱ）在這兩科成績差超過20分的學生中隨機抽取2人進行訪談，求2人成績均是語文成績高于英語成績的概率；

（Ⅲ）根據折線圖，比較該校高二年級學生的語文和英語兩科成績，寫出你的結論和理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓E：，直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與E有兩個交點A，B，線段AB的中點為M．

若，點K在橢圓E上，、分別為橢圓的兩個焦點，求的范圍；

證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；

若l過點，射線OM與橢圓E交于點P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時直線l斜率；若不能，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，點在橢圓上.

（1）求橢圓的方程；

（2）過橢圓的右焦點作互相垂直的兩條直線、，其中直線交橢圓于兩點，直線交直線于點，求證：直線平分線段.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線過點，該拋物線的準線與橢圓:相切，且橢圓的離心率為，點為橢圓的右焦點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）過點的直線與橢圓交于兩點，為平面上一定點，且滿足，求直線的方程.

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