Question

已知實數(shù)x，y滿足

x-3y≤0 x+y-8≥0 y≤7

且不等式axy≥x²+y²恒成立，則實數(shù)a的最小值是

 

．

Answer 1

考點：簡單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：畫出約束條件表示的可行域，轉(zhuǎn)化所給的表達式為a的函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性與極值求出結(jié)果即可．

解答： 解：由

x-3y≤0 x+y-8≥0 y≤7

畫出如圖所示平面區(qū)域，
因為區(qū)域中x＞0，y＞0，axy≥x²+y²恒成立得a≥

y

x

+

x

y

恒成立，
令k=

y

x

則

1

3

≤k≤7，
函數(shù)f(k)=k+

1

k

在  

1

3

≤k≤1上是減函數(shù)，
在1＜k≤7上是增函數(shù)，
所以函數(shù)f(k)=k+

1

k

最大值為f(7)=

50

7

，
要使a≥

y

x

+

x

y

恒成立，只要a≥

50

7

，所以a的最小值是

50

7

．
故答案為：

50

7

．

點評：本題考查線性規(guī)劃，不等式及函數(shù)極值．考查轉(zhuǎn)化思想以及數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用．