Question

已知函數f（x）=

ax+b

x2+1

在R上是奇函數，且f（1）=

1

2

．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）判斷函數f（x）在區(qū)間（0，1）上的單調性，并用定義證明．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質,函數單調性的判斷與證明

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據函數奇偶性定義求解．
（2）根據函數單調性定義求解證明．

解答： 解：（1）∵函數f（x）=

ax+b

x2+1

在R上是奇函數，
∴f（-x）=-f（x）
即f（1）=

1

2

．f（-1）=-

1

2

．
解得：a=1，b=0，
所以f(x)=

x

x2+1

，
（2）根據對鉤函數性質可判斷y=x+

1

x

在（0，1）為減函數，且為y＞0，
所以f(x)=

x

x2+1

，在（0，1）上為增函數，
證明：設實數0＜x₁＜x₂＜1，
f（x₁）-f（x₂）=

x1

x 2 1 +1

-

x2

x 2 2 +1

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+ x 2 1 )(1+ x 2 2 )

∵0＜x₁＜x₂＜1，
∴x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0（1+x

2 2

）（1+x

2 1

）＞0，
f（x₁）-f（x₂）=

x1

x 2 1 +1

-

x2

x 2 2 +1

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+ x 2 1 )(1+ x 2 2 )

＜0，
f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）
所以f(x)=

x

x2+1

，在（0，1）上為增函數，

點評：本題考查了函數性質，應用定義解決問題，仔細化簡判斷．